14582. Найдите объём треугольной пирамиды ABCS
, у которой SA=12
, BC=24
, а остальные рёбра равны 18.
Ответ. 576.
Решение. Первый способ. Пусть M
— середина ребра BC
, а MN
— перпендикуляр к прямой SA
. Тогда MN
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BC
и SA
. При этом AM
и MN
— высоты (а значит, медианы) равнобедренных треугольников ABC
и AMS
. Из прямоугольных треугольников BMS
и AMN
находим, что
AM^{2}=AB^{2}-BM^{2}=18^{2}-12^{2}=6\cdot30,~
MN=\sqrt{AM^{2}-AN^{2}}=\sqrt{6\cdot30-36}=12.
Кроме того, поскольку прямая BC
перпендикулярна пересекающимся прямым AM
и SM
плоскости AMS
, то BC
— перпендикуляр к этой плоскости. Тогда BC\perp SA
, и угол между скрещивающимися прямыми BC
и SA
равен 90^{\circ}
.
Объём тетраэдра равен шестой части произведения его двух противоположных рёбер на расстояние между прямыми, содержащими эти рёбра, и на синус угла между этими прямыми (см. задачу 7234). В нашем случае
V_{ABCS}=\frac{1}{6}BC\cdot SA\cdot NM\sin90^{\circ}=\frac{1}{6}\cdot24\cdot12\cdot12\cdot1=576.
Второй способ. Пусть M
и N
— середины рёбер BC
и SA
соответственно. Равнобедренные треугольники ABC
и SBC
равны по трём сторонам. Из прямоугольного треугольника AMB
находим, что
AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{18^{2}-12^{2}}=6\sqrt{5}.
Тогда
S_{\triangle SBC}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AM=\frac{1}{2}\cdot24\cdot6\sqrt{5}=72\sqrt{5}.
Обозначим \angle AMS=\varphi
. Тогда двугранный угол при ребре BC
пирамиды равен \varphi
. Отрезок MN
— медиана и высота равнобедренного треугольника AMS
, поэтому
\sin\frac{\varphi}{2}=\sin\angle AMN=\frac{AN}{AM}=\frac{6}{6\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Тогда
\cos\frac{\varphi}{2}=\frac{2}{\sqrt{5}},~\sin\varphi=2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}=\frac{4}{5}.
Следовательно (см. задачу 8301)
V_{ABCS}=\frac{2}{3}\cdot\frac{S_{\triangle SBC}\cdot S_{\triangle ABC}\sin\varphi}{BC}=\frac{2}{3}\cdot\frac{72\sqrt{5}\cdot72\sqrt{5}\cdot\frac{4}{5}}{24}=576.