14595. В треугольной пирамиде двугранные углы при рёбрах основания равны \alpha
. Найдите её объём, если рёбра основания равны a
, b
и c
.
Ответ. \frac{1}{3}(p-a)(p-b)(p-c)\tg\alpha
, где p=\frac{a+b+c}{2}
.
Решение. Пусть DH
— высота пирамиды ABCD
, S
— площадь основания ABC
, r
— радиус окружности вписанной в треугольник ABC
, p
— полупериметр треугольника, V
— искомый объём пирамиды.
Поскольку двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны, точка H
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
(см. задачу 7167 и примечание к ней). Пусть HM
— перпендикуляр к ребру AB
. Тогда HM=r
, а по теореме о трёх перпендикулярах DM\perp AB
. Значит, DMH
— линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AB
. По условию \angle DMH=\alpha
. Из прямоугольного треугольника DMH
получаем
DH=HM\tg\angle DMH=r\tg\alpha=\frac{S}{p}\cdot\tg\alpha.
(см. задачу 452), а так как по формуле Герона
S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c),
то
V=\frac{1}{3}S\cdot DH=\frac{1}{3}S\cdot\frac{S}{p}\cdot\tg\alpha=\frac{1}{3}\cdot\frac{S^{2}}{p}\cdot\tg\alpha=\frac{1}{3}(p-a)(p-b)(p-c)\tg\alpha.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.55, с. 107
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 9.3, с. 143