14609. Через центр O
сферы радиуса R
проведена сфера \omega
. Докажите, что площадь сферического сегмента сферы \omega
, отсечённого сферой (O,r)
, не зависит от выбора сферы \omega
.
Решение. Пусть O_{1}
— центр сферы \omega
, R
— её радиус, OA
— её диаметр, H
— точка пересечения линии центров сфер с плоскостью окружности их пересечения (см. задачу 9166). Тогда OH
— высота сферического сегмента из условия задачи.
Рассмотрим сечение сфер плоскостью, проходящей через линию их центров, — пересекающиеся окружности с центрами O
и O_{1}
радиусов r
и R
соответственно, причём окружность с центром O_{1}
проходит через центр O
первой окружности.
Пусть CD
—общая хорда этих окружностей. Точка C
лежит на окружности с диаметром OA=2R
, поэтому \angle OCA=90^{\circ}
, а отрезок CH
— высота прямоугольного треугольника ACO
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, (см. задачу 2728)
r^{2}=OC^{2}=OA\cdot OH=2Rh,
а так как площадь рассматриваемого сферического сегмента равна 2\pi Rh
, она не зависит от радиуса r
данной окружности.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 8.13, с. 157