14616. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция с основаниями a
и b
(a\gt b
). Все боковые грани наклонены к плоскости основания пирамиды под равными углами \alpha
. Найдите полную поверхность пирамиды.
Ответ. \frac{(a+b)\sqrt{ab}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}
.
Решение. Пусть основание данной пирамиды SABCD
— равнобедренная трапеция ABCD
, в которой AD\parallel BC
, AB=a
и BC=b
. Поскольку все боковые грани образуют с основанием пирамиды один и тот же угол, основание O
высоты SO
пирамиды равноудалено от всех сторон основания. Значит, в основание ABCD
пирамиды можно вписать окружность. Пусть её радиус равен r
, а P
, M
и N
— точки касания со сторонами AB
, BC
и AD
соответственно, M
и N
— середины BC
и AD
соответственно.
Отрезок OP=r
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла, (см. задачу 313), поэтому
r=OP=\sqrt{AP\cdot BP}=\sqrt{AN\cdot BM}=\frac{1}{\sqrt{ab}}.
Поскольку трапеция ABCD
равнобедренная и описанная, её полупериметр p
равен сумме оснований, а так как площадь любого описанного многоугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, то
S_{ABCD}=pr=(AD+BC)r=(a+b)\cdot\frac{1}{2}\sqrt{ab}=\frac{1}{2}(a+b)\sqrt{ab}.
По теореме о трёх перпендикулярах SP\perp AB
— поэтому SPO
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями боковой грани и основания. Пусть S
и S_{1}
— площади соответственно полной и боковой поверхностей пирамиды.
Ортогональная проекция боковой поверхности пирамиды на плоскость основания — основание ABCD
, поэтому (см. задачу 8093)
S_{1}=\frac{S_{ABCD}}{\cos\alpha}=\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2\cos\alpha},
Следовательно,
S=S_{ABCD}+S_{1}=\frac{1}{2}(a+b)\sqrt{ab}+\frac{(a+b)\sqrt{ab}}{2\cos\alpha}=
=\frac{1}{2}(a+b)\sqrt{ab}\left(1+\frac{1}{\cos\alpha}\right)=\frac{(a+b)\sqrt{ab}(1+\cos\alpha)}{2\cos\alpha}
=\frac{(a+b)\sqrt{ab}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}{\cos\alpha}.