14620. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки сферы, вписанной в равногранный тетраэдр, до его вершин не зависит от положения точки на этой сфере.
Решение. Пусть P
— произвольная точка на сфере радиуса r
с центром O
, вписанной в равногранный тетраэдр ABCD
с рёбрами AD=BC=a
, BD=AC=b
, CD=AB=c
.
Поскольку центр вписанной а равногранный тетраэдр сферы совпадает с точкой G
пересечения его медиан (см. задачи 7283 и 7280), то
\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PO}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD})
(см. задачу 7243). Тогда
16r^{2}=\overrightarrow{PO}^{2}=(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD})^{2}=\overrightarrow{PA}^{2}+\overrightarrow{PB}^{2}+\overrightarrow{PC}^{2}+\overrightarrow{PD}^{2}+
+2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}+2\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+2\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}+2\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}+2\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}=
=\overrightarrow{PA}^{2}+\overrightarrow{PB}^{2}+\overrightarrow{PC}^{2}+\overrightarrow{PD}^{2}+
=PA^{2}+PB^{2}-c^{2}+PA^{2}+PC^{2}-b^{2}+PB^{2}+PC^{2}-a^{2}+
+PA^{2}+PD^{2}-a^{2}+PB^{2}+PD^{2}-b^{2}+PC^{2}+PD^{2}-c^{2}=
=4(PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+PD^{2})-2(a^{2}+b^{2}+c^{2}),
откуда
PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+PD^{2}=4r^{2}+\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).
т. е. рассматриваемая сумма не зависит от положения точки на вписанной в тетраэдр сфере. Что и требовалось доказать.