7280. Докажите, что тетраэдр равногранный тогда и только тогда, когда центры его вписанной и описанной сфер совпадают.
Указание. Докажите, что расстояния от центра описанной сферы до всех граней данной пирамиды равны. См. также задачу 7269.
Решение. Необходимость. Пусть O
— центр сферы радиуса R
, описанной около равногранного тетраэдра. Перпендикуляры, опущенные из точки O
на грани тетраэдра, проходят через центры описанных окружностей этих граней. Причём, поскольку все грани — остроугольные треугольники (см. задачу 7268), центры их описанных окружностей лежат внутри треугольников, а так как грани — равные треугольники, то радиусы их описанных окружностей равны. Обозначим их через R_{1}
. Тогда расстояния от точки O
до плоскостей граней равны \sqrt{R^{2}-R_{1}^{2}}=r
. Значит, точка O
удалена от всех граней тетраэдра на одно и то же расстояние r
. Следовательно, O
— центр вписанной сферы, а r
— радиус этой сферы.
Достаточность. Пусть центр O
описанной сферы тетраэдра ABCD
совпадает с центром вписанной сферы. Тогда перпендикуляр OO_{1}
, опущенный из точки O
на плоскость ABC
, есть радиус вписанной сферы, проведённый в точку касания с плоскостью ABC
. Значит, точка O_{1}
лежит внутри треугольника ABC
. При этом O_{1}
— центр описанной окружности треугольника ABC
, поэтому центральный угол AO_{1}B
вдвое больше вписанного угла ACB
. Аналогично, пусть OO_{2}
— перпендикуляр к плоскости ADB
. Тогда угол AO_{2}B
вдвое больше угла ADB
. Равнобедренные треугольники AO_{2}B
и AO_{1}B
равны по трём сторонам, поэтому
\angle ADB=\frac{1}{2}\angle AO_{2}B=\frac{1}{2}\angle AO_{1}B=\angle ACB.
Аналогично для остальных углов граней тетраэдра ABCD
. Таким образом, плоские углы тетраэдра, опирающиеся на одно ребро, равны. Значит, развёртка тетраэдра — треугольник (см. задачу 7269). Следовательно, тетраэдр равногранный.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.