7280. Докажите, что тетраэдр равногранный тогда и только тогда, когда центры его вписанной и описанной сфер совпадают.
Указание. Докажите, что расстояния от центра описанной сферы до всех граней данной пирамиды равны. См. также задачу 7269.
Решение. Необходимость. Пусть
O
— центр сферы радиуса
R
, описанной около равногранного тетраэдра. Перпендикуляры, опущенные из точки
O
на грани тетраэдра, проходят через центры описанных окружностей этих граней. Причём, поскольку все грани — остроугольные треугольники (см. задачу 7268), центры их описанных окружностей лежат внутри треугольников, а так как грани — равные треугольники, то радиусы их описанных окружностей равны. Обозначим их через
R_{1}
. Тогда расстояния от точки
O
до плоскостей граней равны
\sqrt{R^{2}-R_{1}^{2}}=r
. Значит, точка
O
удалена от всех граней тетраэдра на одно и то же расстояние
r
. Следовательно,
O
— центр вписанной сферы, а
r
— радиус этой сферы.
Достаточность. Пусть центр
O
описанной сферы тетраэдра
ABCD
совпадает с центром вписанной сферы. Тогда перпендикуляр
OO_{1}
, опущенный из точки
O
на плоскость
ABC
, есть радиус вписанной сферы, проведённый в точку касания с плоскостью
ABC
. Значит, точка
O_{1}
лежит внутри треугольника
ABC
. При этом
O_{1}
— центр описанной окружности треугольника
ABC
, поэтому центральный угол
AO_{1}B
вдвое больше вписанного угла
ACB
. Аналогично, пусть
OO_{2}
— перпендикуляр к плоскости
ADB
. Тогда угол
AO_{2}B
вдвое больше угла
ADB
. Равнобедренные треугольники
AO_{2}B
и
AO_{1}B
равны по трём сторонам, поэтому
\angle ADB=\frac{1}{2}\angle AO_{2}B=\frac{1}{2}\angle AO_{1}B=\angle ACB.

Аналогично для остальных углов граней тетраэдра
ABCD
. Таким образом, плоские углы тетраэдра, опирающиеся на одно ребро, равны. Значит, развёртка тетраэдра — треугольник (см. задачу 7269). Следовательно, тетраэдр равногранный.
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 6.25б, с. 103
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 8.31б, с. 112
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 321(6), с. 43