14627. Докажите, что если сумма плоских углов трёхгранного угла равна 180^{\circ}
, то сумма косинусов его двугранных углов равна 1.
Решение. Пусть SABC
— данный трёхгранный угол с вершиной S
, а его плоские углы, противолежащие рёбрам SA
, SB
и SC
, равны соответственно \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}
. По теореме косинусов для трёхгранного угла (см. задачу 7438)
\cos A+\cos B+\cos C=
=\frac{\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}+\frac{\cos\beta-\cos\alpha\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\gamma}+\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=
=\frac{\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}+\frac{\cos\beta}{\sin\alpha\sin\gamma}+\frac{\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}-\frac{\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}-\frac{\cos\alpha\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\gamma}-\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=
=\frac{\cos\alpha\sin\alpha+\cos\beta\sin\beta+\cos\gamma\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}-(\ctg\beta\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\beta)=
=\frac{\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma}{2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}-(\ctg\beta\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\beta)=
=\frac{4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}-(\ctg\beta\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\beta)=2-1=1
(см. задачи 6860а и 11287). Что и требовалось доказать.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 4, с. 238