14641. Сфера касается всех рёбер пирамиды SABC
, причём боковых рёбер SA
, SB
и SC
— в точках A'
, B'
и C'
. Найдите объём пирамиды SA'B'C'
, если AB=BC=SB=5
и AC=4
.
Ответ. \frac{2\sqrt{59}}{15}
.
Решение. Пусть сфера касается рёбер AB
, BC
и AC
в точках K
, L
и M
. Сфера касается всех рёбер треугольной пирамиды (каркасный тетраэдр), поэтому
BC+AS=AB+CS=AC+SB=4+5=9
(см. задачу 7336). Значит,
AS=9-BC=9-5=4,~SC=9-SB=9-5=4.
Следовательно, SABC
— правильная треугольная пирамида с вершиной B
, стороной основания AC=4
и боковым ребром BA=5
. При этом, M
— середина ребра AC
,
SA'=SA-AA'=SA-AM=4-2=2,
SC'=SC-CC'=SC-CM=4-2=2,
BK=AB-AK=AB-AM=5-2=3,
SB'=SB-BB'=SB-BK=5-3=2.
Пусть BH
— высота этой правильной пирамиды. Тогда H
— центр правильного треугольника ASC
со стороной 4, поэтому
AH=\frac{AC}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}},~S_{\triangle ACS}=\frac{AC^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}.
Из прямоугольного треугольника AHB
находим, что
BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{25-\frac{16}{3}}=\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{3}}.
Пусть V
и V'
— объёмы пирамид SABC
и SA'B'C'
. Тогда
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ACS}\cdot BH=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{59}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{59}}{3}.
Следовательно (см. задачу 7244),
V'=\frac{SA'}{SA}\cdot\frac{SB'}{SB}\cdot\frac{SC'}{SC}V=\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{4}V=
=\frac{1}{10}V=\frac{1}{10}\cdot\frac{4\sqrt{59}}{3}=\frac{2\sqrt{59}}{15}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 8, вариант 1, 10-11 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 120