14642. Точка Q
симметрична вершине P
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
относительно плоскости ABCD
. Точки M
и N
— середины отрезков BC
и AB
соответственно. Известно, что PA=AB=1
. Найдите:
а) угол между прямыми PM
и QN
;
б) расстояние между этими прямыми.
Ответ. а) \arccos\frac{2}{3}
; б) \sqrt{\frac{2}{5}}
.
Решение. а) Пусть O
— центр квадрата ABCD
, K
— середина ребра CD
. Тогда O
— середина отрезка KN
. Четырёхугольник PKQN
— ромб, поэтому QN\parallel PK
и QN=PK
. Угол \varphi
между скрещивающимися прямыми PM
и QN
равен углу между пересекающимися прямыми PK
и PM
, т. е. углу KPM
.
Отрезки PK
и PM
— медианы равносторонних треугольников со стороной 1, поэтому PK=PM=\frac{\sqrt{3}}{2}
, а так как KM
— средняя линия треугольника CBD
, то KM=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}
.
По теореме косинусов из треугольника KPM
находим, что
\cos\varphi=\frac{PK^{2}+PM^{2}-KM^{2}}{2PK\cdot PM}=\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{1}{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}.
Следовательно, \varphi=\frac{2}{3}
.
б) Прямая QN
параллельна плоскости KPM
, так как эта прямая параллельна прямой PK
, лежащей в этой плоскости (см. задачу 8002). Значит, расстояние d
между прямыми PM
и QN
равно расстоянию от произвольной точки прямой QN
(например, от точки N
) до плоскости KPM
.
Пусть точки L
и F
— середины отрезков OA
и OC
соответственно. Тогда LN\parallel BD
как средняя линия треугольника AOB
. Значит, расстояние d
от точки N
до плоскости KPM
равно расстоянию от точки L
до этой плоскости. Кроме того, точка O
— середина наклонной LF
к плоскости KPM
, поэтому расстояние d
от точки L
до плоскости KPM
вдвое больше расстояния до этой плоскости от точки O
(см. задачу 9180), т. е. высоты OH
прямоугольного треугольника POF
, опущенной на гипотенузу PF
. Таким образом,
d=2OH=2\cdot\frac{OP\cdot OF}{PF}=2\cdot\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}}}=\sqrt{\frac{2}{5}}.