14647. Хорды AA'
, BB'
и CC'
одной сферы пересекаются в общей точке S
. Найдите сумму SA'+SB'+SC'
, если AS=a
, BS=b
, CS=c
, а объём пирамиды SABC
в k
раз больше объёма пирамиды SA'B'C'
.
Ответ. \frac{ab+bc+ca}{\sqrt[3]{kabc}}
.
Решение. Обозначим SA'=x
, SB'=y
, SC'=c
. Произведения отрезков пересекающихся хорд сферы равны (следствие из 2627), поэтому ax=by=cz
, откуда
y=\frac{ax}{b},~z=\frac{ax}{c}.
Кроме того (см. задачу 7244)
k=\frac{V_{SABC}}{V_{SA'B'C'}}=\frac{abc}{xyz}=\frac{abc}{x\cdot\frac{ax}{b}\cdot\frac{ax}{c}}=\frac{b^{2}c^{2}}{ax^{3}}~\Rightarrow~x=\sqrt[3]{\frac{b^{2}c^{2}}{ak}}.
Следовательно,
SA'+SB'+SC'=x+y+z=x+\frac{ax}{b}+\frac{ax}{c}=x\left(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)=
=\sqrt[3]{\frac{b^{2}c^{2}}{ak}}\left(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)=\frac{ab+bc+ca}{\sqrt[3]{kabc}}.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 7, вариант 7, 10-11 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 126