14664. Сечения параллелепипеда любой плоскостью, параллельной грани, имеют равные периметры. Существует какой-нибудь другой многогранник с таким же свойством?
Ответ. Существует.
Решение. Рассмотрим правильный октаэдр PABCDQ
(см. рис.). Докажем, что периметр любого его сечения плоскостью, параллельной грани BPC
, равен периметру этой грани.
Пусть такая секущая плоскость проходит через точку K
ребра AP
и пересекает рёбра AB
, BQ
, QC
, CD
и PD
в точках L
, M
, N
, I
и J
соответственно. Поскольку плоскости BPC
и QAD
параллельны, прямые KJ
и MN
тоже параллельны (см. задачу 8009), а так как KJ\parallel AD
(см. задачу 8003), то треугольник KPJ
подобен треугольнику APD
с коэффициентом \frac{PK}{PA}
. Значит, если AD=l
, а KJ=x
, то x=\frac{PK}{PA}l
. Аналогично, треугольник LBM
подобен треугольнику ABQ
с коэффициентом \frac{BL}{BA}=\frac{PK}{PA}
, поэтому LM=\frac{PK}{PA}l=x
, и аналогично, NI=x
. Таким образом
KJ+LM+NI=3x.
Аналогично, если KL=y
, то
KL+MN+IG=3y,
а так как треугольники KPJ
и KAL
равносторонние, то
x+y=KJ+KL=PK+KA=PA=l.
Следовательно, периметр сечения равен
KJ+LM+NI+KL+MN+IG=3x+3y=3(x+y)=3l.
Что и требовалось доказать.