14668. На каждом ребре тетраэдра единичного объёма отметили по точке, отличной от вершины тетраэдра. Рассмотрим четыре тетраэдра, одна из вершин которых совпадает с вершиной данного тетраэдра, а три других — отмеченные точки, лежащие на рёбрах данного тетраэдра, исходящих из этой вершины. Докажите, что объём хотя бы одного из этих четырёх тетраэдров не превосходит \frac{1}{8}
.
Решение. Пусть ABCD
— данный тетраэдр объёма V=1
, точки K
, L
, M
, P
, Q
и R
лежат на его рёбрах AB
, AC
, AD
, BC
, BD
и CD
соответственно, V_{A}
— объём тетраэдра AKLM
. Аналогично определим V_{B}
, V_{C}
и V_{D}
. Тогда (см. задачу 7244)
V_{A}=\frac{AK}{AB}\cdot\frac{AL}{AC}\cdot\frac{AM}{AD}\cdot V=\frac{AK\cdot AL\cdot AM}{AB\cdot AC\cdot AD}.
Аналогично,
V_{B}=\frac{BK\cdot BP\cdot BQ}{BA\cdot BC\cdot BD},~V_{C}=\frac{CL\cdot CP\cdot CR}{CA\cdot CB\cdot CD},~V_{D}=\frac{DM\cdot DQ\cdot DR}{DA\cdot DB\cdot DC}.
Перемножив эти четыре равенства, получим
V_{A}\cdot V_{B}\cdot V_{C}\cdot V_{B}=
=\frac{AK\cdot AL\cdot AM}{AB\cdot AC\cdot AD}\cdot\frac{BK\cdot BP\cdot BQ}{BA\cdot BC\cdot BD}\cdot\frac{CL\cdot CP\cdot CR}{CA\cdot CB\cdot CD}\cdot\frac{DM\cdot DQ\cdot DR}{DA\cdot DB\cdot DC}
=\frac{AK\cdot KB}{AB^{2}}\cdot\frac{BP\cdot PC}{BC^{2}}\cdot\frac{CL\cdot LA}{AC^{2}}\cdot\frac{AM\cdot MD}{AD^{2}}\cdot\frac{CR\cdot RD}{CD^{2}}\cdot\frac{BQ\cdot QD}{BD^{2}}.
Заметим, что
\frac{AK\cdot KB}{AB^{2}}=\frac{AK\cdot KB}{(AK+KB)^{2}}\leqslant\frac{\frac{(AK+KB)^{2}}{4}}{(AK+KB)^{2}}=\frac{1}{4}
(см. задачу 3399). Аналогично,
\frac{BP\cdot PC}{BC^{2}}\leqslant\frac{1}{4},~\frac{CL\cdot LA}{AC^{2}}\leqslant\frac{1}{4},~\frac{AM\cdot MD}{AD^{2}}\leqslant\frac{1}{4},~\frac{CR\cdot RD}{CD^{2}}\leqslant\frac{1}{4},~\frac{BQ\cdot QD}{BD^{2}}\leqslant\frac{1}{4}.
Перемножив эти шесть неравенств, получим
V_{A}\cdot V_{B}\cdot V_{C}\cdot V_{B}\leqslant\left(\frac{1}{4}\right)^{6}=\left(\frac{1}{8}\right)^{4}.
Все четыре сомножителя левой части этого неравенства на могут быть больше \frac{1}{8}
, следовательно, хотя бы один из них не превосходит \frac{1}{8}
. Что и требовалось доказать.