14673. Пусть \overrightarrow{OA}
, \overrightarrow{OB}
, \overrightarrow{OC}
и \overrightarrow{OD}
— различные единичные векторы в пространстве, причём
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}\cdot\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}.
Найдите \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}
.
Ответ. -\frac{1}{3}
.
Решение. Заметим, что углы между любыми двумя векторами из данных 60^{\circ}
. Тогда OABC
— правильный тетраэдр, а точка D
симметрична точке A
относительно плоскости OBC
, так как векторы \overrightarrow{OB}
и \overrightarrow{OC}
образуют равные углы с вектором \overrightarrow{OD}
.
Ортогональная проекция P
точки A
на плоскость OBC
— центр равностороннего треугольника OBC
, поэтому (см. задачи 1207 и 4500)
\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).
Тогда
\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{OA}-2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})=-\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).
Следовательно,
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OA}^{2}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC})=-1+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{3}.
Примечание. Если в условии заменить \frac{1}{2}
на t
, то \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OD}=-1+\frac{4t^{2}}{t+1}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1992, № 9, задача 1693 (1991, с. 301), с. 285