14678. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
все рёбра равны 7. На ребре BB_{1}
отмечена точка K
, причём KB=4
. Через точки K
и C_{1}
проведена плоскость \alpha
, параллельная прямой BD_{1}
.
а) Докажите, что A_{1}P:PB_{1}=1:3
, где P
— точка пересечения плоскости \alpha
с ребром A_{1}B_{1}
.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью \alpha
.
Ответ. б) \frac{2597}{8}
.
Решение. а) Плоскость BDD_{1}B
проходит через прямую BD_{1}
, параллельную плоскости \alpha
, и имеет с плоскостью \alpha
общую точку K
, значит, плоскости BDD_{1}B
и \alpha
пересекаются по прямой l
, проходящей через точку K
параллельно прямой BD_{1}
(см. задачу 8003).
Пусть прямая l
пересекает диагональ B_{1}D_{1}
квадрата A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
в точке L
. Тогда точка L
на прямой пересечения плоскостей \alpha
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, т. е. на прямой A_{1}C_{1}
. Из подобия треугольников B_{1}LK
и B_{1}D_{1}B
получаем
B_{1}K:BB_{1}=3:7=B_{1}L:B_{1}D_{1},
поэтому B_{1}L:LD_{1}=3:4
. Из подобия треугольников B_{1}LP
и D_{1}LC_{1}
получаем
B_{1}P:B_{1}A_{1}=B_{1}P:C_{1}D_{1}=3:4.
Следовательно, A_{1}P:PB_{1}=1:3
.
б) Пусть объём куба равен V
. Объём V_{1}
треугольной пирамиды B_{1}A_{1}BC_{1}
в 6 раз меньше объёма куба, так как её высота BB_{1}
равна ребру куба, а площадь основания A_{1}B_{1}C_{1}
вдвое меньше площади грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Пусть объём треугольной пирамиды B_{1}PKC_{1}
равен v
. Тогда (см. задачу 7244)
v=\frac{B_{1}K}{B_{1}B}\cdot\frac{B_{1}P}{B_{1}A_{1}}\cdot\frac{B_{1}C_{1}}{B_{1}C_{1}}V_{1}=\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{6}V=\frac{3}{56}\cdot49^{3}=\frac{147}{8}.
Следовательно, искомый объём наибольшей из двух частей куба равен
49^{3}-\frac{147}{6}=\frac{2597}{8}.