14692. Найдите наибольший объём тетраэдра, если известны длины трёх его медиан.
Ответ. \frac{9}{32}m_{A}m_{B}m_{C}
, где m_{A}
, m_{B}
и m_{C}
— медианы тетраэдра ABCD
, проведённые из вершин A
, B
и C
.
Решение. Пусть медианы тетраэдра ABCD
, проведённые из вершин A
, B
, C
и D
, равны m_{A}
, m_{B}
, m_{C}
и m_{D}
соответственно. Четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке G
и делятся ею в отношении 3:1
, считая от вершины (см. задачу 7110), поэтому
AG=\frac{3}{4}m_{A},~BG=\frac{3}{4}m_{B},~CG=\frac{3}{4}m_{C}~\mbox{и}~DG=\frac{3}{4}m_{D},
а высота тетраэдра GABC
с вершиной G
равна четверти высоты тетраэдра ABCD
(см. задачу 9180). Значит (см. задачу 7962),
V_{ABCD}=4V_{GABC}\leqslant4\cdot\frac{1}{6}m_{A}m_{B}m_{C}=4\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{4}m_{A}\cdot\frac{3}{4}m_{b}\cdot\frac{3}{4}m_{c}=\frac{9}{32}m_{A}m_{B}m_{C},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда прямые GA
, GB
и GC
попарно перпендикулярны, т. е. тогда и только тогда, когда тетраэдр GABC
прямоугольный. Следовательно, наибольший объём тетраэдра ABCD
равен \frac{9}{32}m_{A}m_{B}m_{C}
.
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 2000, том 75, № 5, задача Q905, с. 403 и 410