14694. Докажите, что тетраэдр является каркасным тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих свойств:
а) суммы противоположных рёбер равны;
б) окружности, вписанные в грани, попарно касаются;
в) перпендикуляры к плоскостям граней, восставленные из центров вписанных окружностей граней, пересекаются в одной точке.
Решение. а) Пусть ABCD
— каркасный тетраэдр. Тогда суммы его противоположных рёбер равны, т. е.
AB+CD=AD+BC=AC+BD,
так как равны отрезки касательных, проведённых к сфере из одной точки. В то же время, если эти суммы равны, то тетраэдр каркасный (см. задачу 7337).
Что и требовалось доказать.
б, в) Докажем, что если окружности, вписанные в грани тетраэдра, попарно касаются, то перпендикуляры, восставленные из центров вписанных окружностей граней, пересекаются в одной точке.
Пусть две вписанные окружности граней касаются общего ребра этих граней в одной и той же точке P
, а O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей. Тогда перпендикуляры, восставленные из точек O_{1}
и O_{2}
к плоскостям этих граней, лежат в плоскости пересекающихся прямых O_{1}P
и O_{2}P
, и при этом не параллельны. Значит, они пересекаются. Следовательно, все четыре таких перпендикуляра проходят через одну точку (см. задачу 8018).
Обратно, если перпендикуляры к плоскостям граней, восставленные из центров вписанных окружностей граней, пересекаются в одной точке, то тетраэдр каркасный.
Действительно, пусть O_{1}
и O_{2}
— центры вписанных окружностей граней тетраэдра, а P_{1}
и P_{2}
— точки касания этих окружностей с общим ребром граней. Тогда перпендикуляры к граням, восставленные из точек O_{1}
и O_{2}
, лежат в плоскостях, проходящих через точки соответственно P_{1}
и P_{2}
перпендикулярно общему ребру. По предположению эти перпендикуляры пересекаются в одной точке, значит, точки P_{1}
и P_{2}
совпадают.
Таким образом, из двух доказанных утверждений следуют пункты б) и в).
Примечание. См. также статью В.Э.Матизена: «Равногранные и каркасные тетраэдры», Квант, 1983, N7, с.34.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — , № 8.54, с. 114