14709. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
с основанием ABCD
точка O
— центр основания пирамиды, точка M
— середина ребра SC
, точка K
делит ребро BC
в отношении BK:KC=3:1
, а AB=2
и SO=\sqrt{14}
.
а) Докажите, что плоскость OMK
параллельна прямой SA
.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK
пересекает грань SAD
.
Ответ. 3.
Решение. а) В треугольнике SAC
отрезок OM
является средней линией, а значит, прямые SA
и OM
параллельны. Следовательно (см. задачу 8002), плоскость OMK
, содержащая прямую OM
, параллельна прямой SA
(точка K
не лежит в плоскости SAC
).
б) Пусть прямая OK
пересекает ребро AD
в точке L
. Тогда треугольники AOL
и COK
равны, поскольку
\angle LAO=\angle KCO,~\angle AOL=\angle COK~\mbox{и}~AO=CO.
Следовательно,
AL=CK;~AL:LD=CK:KB=1:3.
Из прямоугольного треугольника AOS
по теореме Пифагора находим, что
SA=\sqrt{SO^{2}+OA^{2}}=\sqrt{SO^{2}+\frac{1}{2}AB^{2}}=\sqrt{14+2}=4.
Обозначим точку пересечения плоскости OMK
и прямой SD
через N
. Прямые SA
и NL
, содержащиеся в плоскости SAD
, параллельны, поскольку плоскость OMK
, содержащая прямую NL
, параллельна прямой SA
(см. задачу 8003). Значит, треугольники SDA
и NDL
подобны с коэффициентом \frac{3}{4}
. Тогда \frac{LD}{AD}=\frac{3}{4}
. Следовательно,
NL=\frac{3}{4}SA=\frac{3}{4}\cdot4=3.
Источник: ЕГЭ. — 2024, досрочный экзамен, профильный уровень, задача 14