14733. Плоскость проходит через точку K
, лежащую на ребре SA
пирамиды SABC
, делит биссектрису SD
грани SAB
и медиану SE
грани SAC
пополам. В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды, если SK:KA=SA:SB=2:1
?
Ответ. 16:119
.
Решение. Пусть M
и N
— середины биссектрисы SD
и медианы S
соответственно, P
— точка пересечения прямых SD
и KM
, Q
— точка пересечения прямых SE
и KQ
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{DA}{DB}=\frac{SA}{SB}=2.
Через точку S
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть эта прямая пересекается с прямой KP
в точке T
, а с прямой AB
— в точке F
. Положим DB=a
, DA=2a
, AF=m
. Треугольник SKT
подобен треугольнику AKF
с коэффициентом \frac{SK}{KA}=2
, поэтому ST=2AF=2m
. Треугольник SMT
равен треугольнику DMF
по стороне (SM=MD
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому
ST=DF=DA+AF=2a+m.
Из равенства 2a+m=2m
получаем, что m=2a
. Тогда ST=2m=4a
, а треугольник SPT
подобен треугольнику BPF
с коэффициентом
\frac{ST}{BF}=\frac{ST}{AB+AF}=\frac{4a}{3a+m}=\frac{4a}{5a}=\frac{4}{5}.
Значит,
\frac{SP}{PB}=\frac{4}{5}~\Rightarrow~\frac{SP}{SB}=\frac{4}{9}.
Аналогично находим, что \frac{SQ}{SC}=\frac{2}{5}
.
Таким образом (см. задачу 7244),
\frac{V_{SKPQ}}{V_{SABC}}=\frac{SK}{SA}\cdot\frac{SP}{SB}\cdot\frac{SQ}{SC}=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{5}=\frac{16}{135}.
Следовательно, искомое отношение равно \frac{16}{135-16}=\frac{16}{119}
.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2014-2015, март 2015, закл. тур, 11 класс, задача 4, вариант 6-1