14741. Боковые рёбра SA
, SB
и SC
треугольной пирамиды SABC
попарно перпендикулярны. Точка D
лежит на основании ABC
пирамиды на расстоянии \sqrt{5}
от ребра SA
, на расстоянии \sqrt{13}
от ребра SB
и на расстоянии \sqrt{10}
от ребра SC
. Какое наименьшее значение может иметь объём пирамиды SABC
при этих условиях?
Ответ. 27.
Решение. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке S
, направив ось Sx
по лучу SA
, ось Sy
— по лучу SB
, ось Sz
— по лучу SC
. Пусть точка D
имеет координаты (x;y;z)
, а D_{x}
, D_{y}
и D_{z}
— ортогональные проекции точки D
на плоскости SBC
, SAC
и SAB
соответственно. Тогда DD_{x}=x
, DD_{y}=y
и DD_{z}=z
. Получим систему уравнений
\syst{DD_{x}^{2}+DD_{y}^{2}=10\\DD_{x}^{2}+DD_{z}^{2}=13\\DD_{y}^{2}+DD_{z}^{2}=5,\\}~~\mbox{или}~~\syst{x^{2}+y^{2}=10\\x^{2}+z^{2}=13\\y^{2}+z^{2}=5.\\}
Вычитая из суммы первых двух уравнений третье, получим
2x^{2}=18~\Rightarrow~x=3.
Аналогично, y=1
и z=2
.
Обозначим SA=a
, SB=b
и SC=c
. Тогда уравнение плоскости ABC
имеет вид
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564). Поскольку точка D(3;1;2)
лежит в плоскости ABC
, получаем
\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}=1.
Тогда (см. примечание к задаче 3399)
\frac{\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}}{3}\geqslant\sqrt[{3}]{{\frac{3}{a}\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{2}{c}}}=\sqrt[{3}]{{\frac{6}{abc}}}~\Leftrightarrow~1=\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}\right)^{3}\geqslant\frac{6\cdot27}{abc}~\Leftrightarrow~\frac{1}{6}abc\geqslant27,
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c
.
Пусть V
— объём данной пирамиды. Тогда, поскольку SC
— перпендикуляр к плоскости SAB
, получаем
V=\frac{1}{3}S_{\triangle SAB}\cdot SC=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}ab\cdot c=\frac{1}{6}abc~\Rightarrow~V\geqslant27.
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда SA=SB=SC
. Следовательно, наименьшее значение объёма пирамиды из условия задачи равно 27.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Покори Воробьёвы горы». — 2015-2016, март 2016, закл. тур, 10-11 классы, задача 5, вариант 17-1