14778. Докажите, что для любых действительных чисел x
и y
верно неравенство
x^{2}+(y-1)^{2}+(x+y)^{2}\geqslant\frac{1}{3}.
Решение. Рассмотрим единичный куб ABCDA'B'C'D'
. Выберем прямоугольную систему координат с началом в точке A
, направив ось абсцисс по лучу AB
, ось ординат — по оси AD
, ось аппликат — по оси AA'
. Точка D'
имеет координаты (0;1;1)
, а уравнение плоскости A'BD
имеет вид x+y+z=1
(см. задачу 7564). Тогда произвольная точка M
этой плоскости имеет координаты (x;y;1-x-y)
, поэтому по формуле для квадрата расстояния между двумя точками
D'M^{2}=(x-0)^{2}+(y-1)^{2}+((1-x-y)-1)^{2}=x^{2}+(y-1)^{2}+(x+y)^{2}.
Поскольку D'B'\parallel DB
и D'C\parallel A'B
, плоскости D'B'C
и BDA'
параллельны. Диагональ AC'
, равная \sqrt{3}
, перпендикулярна этими плоскостям и делится ими на три равные части (см. задача 7300). Значит, расстояние d
от точки D'
до плоскости BDA'
равно расстоянию между плоскостями D'B'C
и BDA'
, т. е. d=\frac{\sqrt{3}}{3}
. Следовательно,
x^{2}+(y-1)^{2}+(x+y)^{2}=D'M^{2}\geqslant d^{2}=\left(\frac{1}{3}AC'\right)^{2}=\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Блинков А. Д. Геометрия в негеометрических задачах. — М.: МЦНМО, 2016. — (Школьные математические кружки; 15). — N Д49, с. 94