14817. Дан куб ABCDA'B'C'D'
с ребром a
. На ребре AA'
взята точка E
, причём AE=\frac{1}{4}a
. Найдите объём пирамиды, у которой вершина совпадает с точкой A'
, а основание — сечение, проходящее через точки D
, E
и середину ребра BB'
.
Ответ. \frac{1}{4}a^{3}
.
Решение. Пусть F
— середина ребра BB'
. Плоскость сечения проходит через прямую EF
, параллельную плоскости CC'D'D
, и имеет с этой плоскостью общую точку D
. Значит, прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью CC'D'D
параллельна EF
(см. задачу 8003). Пусть эта прямая пересекает ребро CC'
в точке S
. Тогда CS=AE=\frac{1}{4}a
, поэтому ACSE
— прямоугольник с площадью
\frac{1}{4}AA'\cdot AC=\frac{1}{4}a\cdot a\sqrt{2}=\frac{1}{4}a^{2}\sqrt{2}.
Значит, площадь треугольника EA'S
равна половине площади прямоугольника SEA'C'
, т. е.
\frac{1}{2}(a^{2}\sqrt{2}-\frac{1}{4}a^{2}\sqrt{2}=\frac{3}{8}a^{2}\sqrt{2}.
Стороны DS
и EF
четырёхугольника DEFS
равны и параллельны (см. задачу 8009), значит, это параллелограмм. Следовательно, пирамиды A'DES
и A'EFS
с общей вершиной A'
равновелики, а искомый объём V
пирамиды, о которой говорится в условии, вдвое больше объёма V_{1}
треугольной пирамиды A'DES
. Высота h
этой пирамиды, проведённая из вершины D
, равна расстоянию от точки D
до плоскости диагонального сечения AA'C'C
куба (половине диагонали квадрата ABCD
), т. е.
h=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}a\sqrt{2},
а площадь основания EA'S
равна \frac{3}{8}a^{2}\sqrt{2}
. Значит,
V=2V_{1}=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}a^{2}\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{1}{4}a^{3}.
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1982, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1983, № 5, с. 53, задача 5, вариант 1