14817. Дан куб
ABCDA'B'C'D'
с ребром
a
. На ребре
AA'
взята точка
E
, причём
AE=\frac{1}{4}a
. Найдите объём пирамиды, у которой вершина совпадает с точкой
A'
, а основание — сечение, проходящее через точки
D
,
E
и середину ребра
BB'
.
Ответ.
\frac{1}{4}a^{3}
.
Решение. Пусть
F
— середина ребра
BB'
. Плоскость сечения проходит через прямую
EF
, параллельную плоскости
CC'D'D
, и имеет с этой плоскостью общую точку
D
. Значит, прямая пересечения секущей плоскости с плоскостью
CC'D'D
параллельна
EF
(см. задачу 8003). Пусть эта прямая пересекает ребро
CC'
в точке
S
. Тогда
CS=AE=\frac{1}{4}a
, поэтому
ACSE
— прямоугольник с площадью
\frac{1}{4}AA'\cdot AC=\frac{1}{4}a\cdot a\sqrt{2}=\frac{1}{4}a^{2}\sqrt{2}.

Значит, площадь треугольника
EA'S
равна половине площади прямоугольника
SEA'C'
, т. е.
\frac{1}{2}(a^{2}\sqrt{2}-\frac{1}{4}a^{2}\sqrt{2}=\frac{3}{8}a^{2}\sqrt{2}.

Стороны
DS
и
EF
четырёхугольника
DEFS
равны и параллельны (см. задачу 8009), значит, это параллелограмм. Следовательно, пирамиды
A'DES
и
A'EFS
с общей вершиной
A'
равновелики, а искомый объём
V
пирамиды, о которой говорится в условии, вдвое больше объёма
V_{1}
треугольной пирамиды
A'DES
. Высота
h
этой пирамиды, проведённая из вершины
D
, равна расстоянию от точки
D
до плоскости диагонального сечения
AA'C'C
куба (половине диагонали квадрата
ABCD
), т. е.
h=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}a\sqrt{2},

а площадь основания
EA'S
равна
\frac{3}{8}a^{2}\sqrt{2}
. Значит,
V=2V_{1}=2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}a^{2}\sqrt{2}\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{2}=\frac{1}{4}a^{3}.

Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1982, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1983, № 5, с. 53, задача 5, вариант 1