14821. В пространстве даны две скрещивающиеся прямые
a
и
b
. Найдите множество середин отрезков данной длины
d
с концами
A
и
B
на прямых
a
и
b
соответственно.
Ответ. Окружность с диаметром
\sqrt{d^{2}-h^{2}}
, где
h
— длина общего перпендикуляра
PQ
прямых
a
и
b
, центр окружности — середина этого перпендикуляра, а плоскость окружности перпендикулярна
PQ
.
Решение. Множество середин отрезков с концами на скрещивающихся прямых
a
и
b
соответственно — плоскость
\alpha
, проходящая через середину
O
общего перпендикуляра этих прямых перпендикулярно ему (см. задачу 7232). Значит, искомое ГМТ лежит в этой плоскости.
Пусть
A
и
B
— точки на данных прямых
a
и
b
соответственно (
AB=d
),
h
— расстояние между прямыми, а
A'
и
B'
— ортогональные проекции соответственно
A
и
B
на плоскость
\alpha
(см. рис.). Противоположные стороны
AA'
и
BB'
четырёхугольника
AA'B'B
параллельны и равны
h
, поэтому
AA'B'B
— параллелограмм с центром в середине
M
отрезка
A'B'
. Из прямоугольного треугольника
AA'M
находим, что
MA'=\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^{2}-\left(\frac{h}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{d^{2}-h^{2}}.

Поскольку прямые
MA'
и
MB'
соответственно параллельны перпендикулярным прямым
a
и
b
, то
\angle A'MB'=90^{\circ}
. Тогда
OM
— медиана прямоугольного треугольника
A'MB'
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 1109)
OM=A'M=\frac{1}{2}\frac{1}{2}\sqrt{d^{2}-h^{2}}.

Следовательно, точка
M
лежит на окружности с диаметром
\sqrt{d^{2}-h^{2}}
, расположенной в плоскости
A'OB'
.
Очевидно, любая точка этой окружности — середина отрезка с концами на прямых
a
и
b
соответственно.
Источник: Журнал «Квант». — 1985, № 10, с. 24, задача 10