14821. В пространстве даны две скрещивающиеся прямые a
и b
. Найдите множество середин отрезков данной длины d
с концами A
и B
на прямых a
и b
соответственно.
Ответ. Окружность с диаметром \sqrt{d^{2}-h^{2}}
, где h
— длина общего перпендикуляра PQ
прямых a
и b
, центр окружности — середина этого перпендикуляра, а плоскость окружности перпендикулярна PQ
.
Решение. Множество середин отрезков с концами на скрещивающихся прямых a
и b
соответственно — плоскость \alpha
, проходящая через середину O
общего перпендикуляра этих прямых перпендикулярно ему (см. задачу 7232). Значит, искомое ГМТ лежит в этой плоскости.
Пусть A
и B
— точки на данных прямых a
и b
соответственно (AB=d
), h
— расстояние между прямыми, а A'
и B'
— ортогональные проекции соответственно A
и B
на плоскость \alpha
(см. рис.). Противоположные стороны AA'
и BB'
четырёхугольника AA'B'B
параллельны и равны h
, поэтому AA'B'B
— параллелограмм с центром в середине M
отрезка A'B'
. Из прямоугольного треугольника AA'M
находим, что
MA'=\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^{2}-\left(\frac{h}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{d^{2}-h^{2}}.
Поскольку прямые MA'
и MB'
соответственно параллельны перпендикулярным прямым a
и b
, то \angle A'MB'=90^{\circ}
. Тогда OM
— медиана прямоугольного треугольника A'MB'
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 1109)
OM=A'M=\frac{1}{2}\frac{1}{2}\sqrt{d^{2}-h^{2}}.
Следовательно, точка M
лежит на окружности с диаметром \sqrt{d^{2}-h^{2}}
, расположенной в плоскости A'OB'
.
Очевидно, любая точка этой окружности — середина отрезка с концами на прямых a
и b
соответственно.
Источник: Журнал «Квант». — 1985, № 10, с. 24, задача 10