7232. Найдите геометрическое место середин отрезков с концами на двух заданных скрещивающихся прямых.
Ответ. Плоскость.
Решение. Пусть точки M
и N
принадлежат скрещивающимся прямым a
и b
соответственно, K
— середина отрезка MN
. Через точку K
проведём прямые a'
и b'
, соответственно параллельные прямым a
и b
. Через пересекающиеся прямые a'
и b'
проведём плоскость \alpha
. Докажем, что эта плоскость и есть искомое геометрическое место точек.
1. Пусть X
и Y
— произвольные точки прямых a
и b
соответственно. Поскольку эти точки лежат по разные стороны от плоскости \alpha
, отрезок XY
пересекает эту плоскость в некоторой точке Z
.
Поскольку прямые a
и a'
параллельны, они лежат в одной плоскости. В этой же плоскости лежит прямая MN
(так как две её точки M
и K
лежат в этой плоскости), а значит, — и прямая NX
.
Пусть прямые a'
и NX
пересекаются в точке P
. Тогда P
— середина отрезка NX
. Плоскость треугольника NXY
, проходящая через прямую b
, параллельную плоскости \alpha
, пересекает эту плоскость по прямой PZ
, параллельной прямой b
.
Поскольку P
— середина отрезка XN
, Z
— середина XY
. Таким образом, середина каждого отрезка XY
с концами на прямых a
и b
лежит в плоскости \alpha
.
2. Пусть теперь Z
— произвольная точка плоскости \alpha
. Докажем, что найдётся отрезок XY
с концами на прямых a
и b
, для которого Z
— середина XY
.
Если Z
лежит на одной из прямых a'
или b'
, например, на прямой a'
, а X
— точка пересечения прямой NZ
с прямой a
(эти прямые лежат в плоскости параллельных прямых a
и a'
), то Z
— середина отрезка NX
с концами на скрещивающихся прямых a
и b
.
Рассмотрим случай, когда точка Z
плоскости \alpha
на лежит ни на одной из прямых a'
и b'
.
Первый способ. Пусть прямая проходящая через точку Z
параллельно прямой b'
, пересекает прямую a'
в точке P
. Тогда точка P
лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые a'
и a
. Следовательно, прямая NP
пересекает прямую a
в некоторой точке, которую мы обозначим через X
.
Поскольку PZ\parallel b'\parallel b
, прямые PZ
и b
лежат в одной плоскости. В этой же плоскости лежит и точка X
(так как X
лежит на прямой NP
), а следовательно, — и прямая XZ
.
Пусть прямые XZ
и b
пересекаются в некоторой точке Y
. Поскольку K
— середина MN
, P
— середина NX
, а так как PZ\parallel NY
, то Z
— середина XY
.
Таким образом, каждая точка Z
плоскости \alpha
является серединой некоторого отрезка XY
с концами на скрещивающихся прямых a
и b
.
Второй способ. Докажем, что плоскость \gamma
, проведённая через прямую b
и не лежащую на ней точку Z
, не может быть параллельной прямой a
.
Пусть это не так. Тогда, через прямую a
проведём плоскость \beta
, параллельную \alpha
. Поскольку прямая b
параллельна \beta
, проходящая через неё плоскость \gamma
пересекает плоскость \beta
по прямой b''
параллельной b
(плоскости \alpha
и \gamma
не могут быть параллельны, так как тогда через прямую b
можно было бы провести две различные плоскости, параллельные прямой a
). С другой стороны, если прямая a
была бы параллельна плоскости \gamma
, то прямая b''
пересечения плоскостей \beta
и \gamma
была бы параллельна прямой a
, а значит, и прямой b
, что противоречит условию (прямые a
и b
— скрещивающиеся).
Аналогично, плоскость, проведённая через прямую a
и точку Z
, не может быть параллельной прямой b
. Таким образом (см. задачу 7104), через произвольную точку Z
плоскости \alpha
можно провести прямую, пересекающую скрещивающиеся прямые a
и b
в некоторых точках X
и Y
. Тогда Z
— середина отрезка XY
(см. первую часть решения этой задачи).
Третий способ (идея Максима Козлова). Точка Z
лежит внутри одного из углов, образованных пересечением прямых a'
и b'
. Через точку Z
проведём прямую, отрезок PQ
которой, заключённый внутри угла, делился бы точкой Z
пополам (см. задачу 1232), точка P
лежит на прямой a'
, точка Q
— на b'
. Пусть X
— такая точка на прямой a
, что PX\parallel MN
, а Y
— такая точка на прямой b
, что QY\parallel MN
. Тогда PX\parallel MN\parallel QY
и PX=MK=KN=QY
. Значит, XPYQ
— параллелограмм. Его диагональ XY
проходит через середину Z
диагонали PQ
. Следовательно, точка Z
— середина отрезка XY
с концами на прямых a
и b
.