14845. В основании пирамиды SABC
лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
, AB=BC=1
, а боковые рёбра равны 3. Точки K
и L
— середины рёбер AC
и BC
, точки M
и N
выбраны соответственно на рёбрах SA
и SB
, причём SM=NB=1
. Найдите объём пирамиды NMKL
.
Ответ. \frac{\sqrt{34}}{144}
.
Решение. Боковые рёбра данной пирамиды равны, поэтому её высота, проведённая из вершины S
, проходит через центр описанной окружности основания ABC
(см. задачу 7163), т. е. через середину K
гипотенузы AC
. Из прямоугольного треугольника ASK
находим
SK=\sqrt{SA^{2}-AK^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{2}}=\frac{\sqrt{34}}{2}.
Отметим на ребре SA
точку N_{1}
, для которой AN_{1}=1
. Тогда \frac{SN_{1}}{SA}=\frac{SN}{SA}=\frac{2}{3}
, а так как KL
— средняя линия треугольника ABC
, то NN_{1}\parallel AB\parallel KL
. Значит, прямая NN_{1}
параллельна плоскости KLM
, содержащей прямую KL
(см. задачу 8002). Следовательно, искомый объём пирамиды NMKL
равен объёму пирамиды N_{1}MKL
.
В свою очередь, поскольку N_{1}
— середина отрезка AM
, объём пирамиды N_{1}MKL
равен половине объёма пирамиды AMKL
. Следовательно,
V_{NMKL}=V_{N_{1}MKL}=\frac{1}{2}V_{AMKL}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}V_{SAKL}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}S_{AKL}\cdot SK=
=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}\cdot SK=\frac{1}{36}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{34}}{2}=\frac{\sqrt{34}}{144}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1986, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986, с. 212, задача 5, вариант 1