14849. В треугольной пирамиде
ABCD
рёбра
AB
,
BC
и
BD
взаимно перпендикулярны и равны 2. Через точки
M
и
N
— середины рёбер
AC
и
BD
соответственно — проведена плоскость, которая пересекает ребро
AB
и образует равные двугранные углы с плоскостями граней
ABC
и
ABD
. Найдите эти углы.
Ответ.
\arctg\sqrt{5}
.
Решение. Пусть
L
и
K
— точки пересечения заданной плоскости (обозначим её через
\alpha
) с ребром
AB
и прямой
BC
соответственно, а угол, который она образует с плоскостями
ABC
и
ABD
, равен
\varphi
.
Прямоугольные треугольники
LNB
и
LKB
— ортогональные проекции треугольника
LNK
на плоскости
ABD
и
ABC
. Если площадь треугольника
LNK
равна
S
, то площадь каждой из проекций равна
S\cos\varphi
(см. задачу 8093), поэтому треугольники
LNB
и
LKB
равновелики. Катет
LB
у них общий, поэтому равны два других катета —
BK
и
BN
.
Известно, что
BN=\frac{1}{2}BD=1
, значит, точка
K
может занимать одно из двух положений: либо она совпадает с серединой ребра
BC
, либо лежит на продолжении
BC
за точку
B
на расстоянии 1 от точки
B
(на рисунке это точки
K'
и
K
). Но прямая
K'M
параллельна
AB
как средняя линия треугольника
ABC
, поэтому если бы
\alpha
проходила через точку
K'
, она не могла бы пересечь прямую
AB
. Следовательно, плоскость
\alpha
проходит через точку
K
.
Заметим, что
KB=K'B
, отрезок
LB
— средняя линия треугольника
MKK'
, поэтому
LB=\frac{1}{2}MK'=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{4}\cdot2=\frac{1}{2}.

Опустим в прямоугольном треугольнике
KLB
перпендикуляр
BT
на гипотенузу
LK
. Поскольку прямая
NB
перпендикулярна плоскости
ABC
, то по теореме о трёх перпендикулярах
NT\perp LK
, поэтому угол
\angle NTB
— искомый угол
\varphi
двугранного угла между плоскостями
\alpha
и
ABC
.
В треугольнике
KLB
известно, что
BK=1
и
BL=\frac{1}{2}
, поэтому
KL=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}~\Rightarrow~BT=\frac{BK\cdot BL}{KL}=\frac{1\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}

(см. задачу 1967). Отсюда
\tg\varphi=\frac{NB}{BT}=\sqrt{5}
. Следовательно,
\varphi=\arctg\sqrt{5}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1987, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1987, с. 215, задача 5, вариант 1