14888. В основании правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит квадрат ABCD
со стороной 2, боковые рёбра пирамиды равны \sqrt{6}
. Через середину L
ребра AB
и вершину C
проведена плоскость \alpha
, которая перпендикулярна грани SAD
и пересекает ребро SD
в точке M
. Найдите отношение SM:MD
.
Решение. Пусть N
— точка пересечения прямых CL
и AD
. Прямоугольные треугольники LAN
и LBC
равны по стороне (AL=LB
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому AN=BC=2
, DN=4
.
Плоскости ASD
и BSC
проходят через параллельные прямые AD
и BC
соответственно и имеют общую точку S
, поэтому они пересекаются по прямой l
, параллельной прямым AD
и BC
(см задачу 8004).
Опустим перпендикуляр CS'
на прямую l
. Пусть P
и Q
— середины рёбер BC
и AD
. Тогда CPSS'
и DQSS'
— прямоугольники, поэтому
S'S=CP=1,~S'D=S'C=SP=\sqrt{SC^{2}-CP^{2}}=\sqrt{6-1}=\sqrt{5}.
Прямая l
перпендикулярна пересекающимся прямым S'C
и S'D
плоскости CS'D
, значит, прямая l
перпендикулярна этой плоскости. Тогда высота CK
равнобедренного треугольника CS'D
с основанием CD
пересекающимся прямым l
и S'D
плоскости ASD
. Следовательно, прямая CK
перпендикулярна плоскости ASD
, а плоскость CKN
, проходящая через прямую CK
, перпендикулярна плоскости SAD
по признаку перпендикулярности плоскостей (см. задачу 7710). Таким образом, плоскость CKN
— это плоскость, о которой говорится в условии задачи, а точка M
— это точка пересечения прямых KN
и SD
, лежащих в этой плоскости.
Пусть H
— середина основания CD
равнобедренного треугольника ASD
. Обозначим \angle S'CD=\alpha
. Тогда
S'H=\sqrt{S'C^{2}-CH^{2}}=\sqrt{5-1}=2,~\cos\alpha=\frac{DH}{S'D}=\frac{1}{\sqrt{5}}~\Rightarrow
\Rightarrow~DK=CD\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}~\Rightarrow~S'K=S'D-DK=\sqrt{5}-\frac{2\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}~\Rightarrow~\frac{S'K}{KD}=\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{3}{2}.
Пусть прямые NK
и l
пересекаются в точке T
. Треугольники S'KT
и DKN
подобны с коэффициентом \frac{S'K}{KD}=\frac{3}{2}
, поэтому
S'T=\frac{3}{2}DN=\frac{3}{2}\cdot4=6.
Следовательно, из подобия треугольников SMT
и DMN
находим, что
\frac{SM}{MD}=\frac{ST}{DN}=\frac{SS'+S'T}{DN}=\frac{1+6}{4}=\frac{7}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1997, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1997, с. 238, задача 5, вариант 1