14905. В кубе с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
и DD'
на ребре CC'
выбрана точка E
, причём CE=2C'E
. Через диагональ B'D'
верхнего основания и точку E
проведена плоскость. Найдите расстояние от вершины A
до проведённой плоскости, если ребро куба равно 1.
Ответ. \frac{4}{\sqrt{11}}
.
Решение. Введём прямоугольную систему координат C'xyz
с началом в точке C'(0;0;0)
, направив ось C'x
по лучу C'B'
, ось C'y
— по лучу CD'
, ось C'z
— по лучу C'C
. Уравнение плоскости B'ED'
имеет вид
x+y+\frac{z}{\frac{1}{3}}=1
(уравнение плоскости в отрезках, см. задачу 7564), или
x+y+3z-1=0.
По формуле расстояния от точки до плоскости (см. задачу 7563) находим, что расстояние d
от точки A(1;1;1)
до плоскости B'ED'
равно
d=\frac{|1\cdot1+1\cdot1+3\cdot1-1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{11}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 119, задача 5, вариант 3