14906. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит прямоугольник ABCD
со сторонами AB=1
, BC=2
. Боковые рёбра AA'
, BB'
, CC'
и DD'
равны 1. Через диагональ BD'
проведена плоскость, перпендикулярная плоскости BB'D'D
. Найдите расстояние от точки A
до проведённой плоскости.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{30}}
.
Указание. Пусть AP
— высота треугольника ABD
. Искомое расстояние равно расстоянию от точки P
до прямой D'B
.
Решение. Заметим, что прямая, проведённая через произвольную точку перпендикулярно одной из двух перпендикулярных плоскостей, параллельна второй плоскости или лежит в ней. Значит все точки этой прямой равноудалены от второй плоскости.
В нашем случае, прямая, содержащая высоту AP
прямоугольного треугольника ABD
, перпендикулярна плоскости BB'D'D
, поэтому все её точки, в частности, точка A
, удалены от проведённой плоскости \alpha
на равные расстояния. Следовательно, расстояние d
от точки A
до плоскости \alpha
равно расстоянию до этой плоскости от точки P
.
Опустим из точки P
, лежащей в плоскости BB'D'D
перпендикуляр PH
на прямую BD'
пересечения двух рассматриваемых плоскостей. Тогда PH
— перпендикуляр к плоскости \alpha
(см. задачу 7712). Следовательно, расстояние d
от точки P
до плоскости \alpha
равно длине отрезка PH
, т. е. d=PH
.
Проведём высоту DG
прямоугольного треугольника BDD'
. Тогда (см. задачу 1967)
DG=\frac{DB\cdot DB_{1}}{BD_{1}}=\frac{\sqrt{5}\cdot1}{\sqrt{5+1}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}.
Из прямоугольного треугольника BAD
получаем, что
\frac{DP}{PB}=\frac{AD^{2}}{AB^{2}}=\frac{4}{1}
(см. задачу 1946). Значит, треугольник BPH
подобен треугольнику BDG
с коэффициентом k=\frac{BP}{BD}=\frac{1}{5}
. Следовательно,
d=PH=\frac{1}{5}DG=\frac{1}{5}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{30}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 120, задача 5, вариант 4