14983. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
, причём SD
— высота пирамиды. Найдите площадь грани SAB
, если AB=10
, AC=8
, BC=6
, SD=24
.
Ответ. 24\sqrt{26}
.
Решение. Треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
(см. задачу 1972), так как
AC^{2}+BC^{2}=64+36=100=AB^{2}.
Пусть SH
— высота треугольника ASD
. Пр теореме о трёх перпендикулярах DH\perp AB
, поэтому отрезок DH
равен высоте CP
прямоугольного треугольника ABC
, проведённой из вершины прямого угла. Тогда (см. задачу 1967)
DH=CP=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{9\cdot6}{10}=\frac{24}{5}.
Из прямоугольного треугольника SKH
находим
SH=\sqrt{SD^{2}+DH^{2}}=\sqrt{24^{2}+\frac{24^{2}}{5^{2}}}=\frac{24}{5}\sqrt{26}.
Следовательно,
S_{\triangle SAB}=\frac{1}{2}AB\cdot SH=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\frac{24}{5}\sqrt{26}=24\sqrt{26}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1996, задача 5, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996 с. 169, задача 5, вариант 1.2