14986. В основании пирамиды с вершиной S
лежит ромб ABCD
с диагоналями AC=6
и BD=8
. Перпендикуляр, опущенный из вершины S
на основание, пересекает его в точке H
— середине ребра BC
. Найдите объём пирамиды, если известно, что существует сфера, касающаяся рёбер основания, а прямая SH
касается этой сферы в точке S
.
Ответ. \frac{28}{5}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы, а Q
— точка пересечения диагоналей ромба. Сечение сферы плоскостью основания ABCD
— окружность \omega
, вписанная в ромб. Прямая, проходящая через центры сферы и окружности \omega
, перпендикулярна секущей плоскости. Точка Q
— центр окружности, поэтому OQ
— перпендикуляр к плоскости ABCD
, а значит, SQ\parallel SH
.
Радиус OS
, проведённый в точку касания сферы с прямой SH
(как и отрезок QH
), перпендикулярен SH
. Значит, SOQH
— прямоугольник, а радиус OS
сферы равен QH
.
Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного на сторону BC
ромба ABCD
. По теореме о трёх перпендикулярах OP\perp BC
. Значит, OP
— тоже радиус данной сферы.
Поскольку QH
и QP
— соответственно медиана и высота прямоугольного треугольника AQC
с прямым углом при вершине Q
и гипотенузой BC=5
, то (см. задачи 1109 и 1967)
QH=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2},~QP=\frac{QC\cdot QB}{BC}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}.
Значит, по теореме Пифагора
SH=OQ=\sqrt{OP^{2}-QP^{2}}=\sqrt{QH^{2}-QP^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{144}{25}}=\frac{7}{10}.
Следовательно,
V_{SABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot\frac{8\cdot6}{2}\cdot\frac{7}{10}=\frac{28}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1996, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996 с. 171, задача 5, вариант 2.1