14988. В основании пирамиды ABCD
лежит треугольник ABC
со сторонами AB=4
, AC=BC=8
. Найдите объём пирамиды, если известно, что существует сфера, касающаяся рёбер основания, а прямая CD
касается этой сферы в точке D
и перпендикулярна основанию.
Ответ. 8\sqrt{15}
.
Решение. Пусть O
— центр сферы, R
— её радиус. Сечение сферы плоскостью ABC
— окружность, вписанная в треугольник ABC
. Пусть Q
— её центр, r
— радиус. Прямые OQ
и DC
перпендикулярны плоскости ABC
, поэтому они параллельны, а значит, лежат в одной плоскости. Кроме того, OD\perp DC
(радиус сферы, проведённый в точку касания с прямой DA
), поэтому ADCQ
— прямоугольник. Значит, QC=OD=R
.
Пусть AM
— высота равнобедренного треугольника ABC
. Тогда M
— середина AB
. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{BM}{BC}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}~\Rightarrow~\sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}.
Пусть p
— полупериметр треугольника, S
— площадь, N
— точка касания вписанной окружности со стороной AC
. Тогда (см. задачи 219 и 452)
p=BC+BM=8+2=10,~S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\alpha=2\cdot8\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=4\sqrt{15},
r=\frac{S}{p}=\frac{4\sqrt{15}}{10}=\frac{2\sqrt{15}}{5}.
Из прямоугольного треугольника CNQ
с катетом QN=r
и прилежащим углом \angle CQN=\angle ABC=\alpha
получаем
R=QC=\frac{QN}{\cos\angle CQN}=\frac{r}{\cos\alpha}=\frac{\frac{2\sqrt{15}}{5}}{\frac{1}{4}}=\frac{8\sqrt{15}}{5}.
Точка N
лежит на сфере, поэтому гипотенуза ON
прямоугольного треугольника OQN
, поэтому
OQ=\sqrt{ON^{2}-QN^{2}}=\sqrt{R^{2}-r^{2}}=\sqrt{\left(\frac{8\sqrt{15}}{5}\right)^{2}-\left(\frac{2\sqrt{15}}{5}\right)^{2}}=6.
Следовательно, объём пирамиды ABCD
равен
\frac{1}{3}S\cdot OQ=\frac{1}{3}\cdot4\sqrt{15}\cdot6=8\sqrt{15}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1996, задача 5, вариант 2.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996 с. 171, задача 5, вариант 2.3