15022. В единичном кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
точка M
— середина ребра CC_{1}
. Найдите площадь ортогональной проекции грани BB_{1}C_{1}C
на плоскость BD_{1}M
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{6}}
.
Решение. Опустим из точки C_{1}
перпендикуляр C_{1}N
на прямую BM
. Поскольку C_{1}N
— ортогональная проекция наклонной D_{1}N
на плоскость BB_{1}C_{1}C
, то по теореме о трёх перпендикулярах D_{1}N\perp BM
. Тогда C_{1}ND_{1}
— линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями BMD_{1}
и BB_{1}C_{1}C
. Обозначим его \varphi
. Тогда площадь S
проекции грани BB_{1}C_{1}C
на плоскость BMD_{1}
равна площади S_{0}
этой грани, умноженной на \cos\varphi
(см. задачу 8093), а так как S_{0}=1
, то S=\cos\varphi
.
Пусть K
— точка пересечения прямых BM
и B_{1}C_{1}
. Точка M
— середина ребра CC_{1}
, поэтому C_{1}K=BC=1
. Тогда (см. задачу 1967)
C_{1}N=\frac{C_{1}M\cdot C_{1}K}{\sqrt{C_{1}M^{2}+C_{1}K^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{5}},
а так как
D_{1}N=\sqrt{C_{1}N^{2}+D_{1}C^{2}}=\sqrt{\frac{6}{5}},
то
S=\cos\varphi=\frac{C_{1}N}{D_{1}N}=\frac{1}{\sqrt{6}}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2001, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001 с. 191, задача 5, вариант 1.1