15050. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
рёбра равны 4. На ребре BC
выбрана точка M
, причём BM=3
. Из точки A
проведён перпендикуляр AH
к плоскости C_{1}DM
, где H
— основание перпендикуляра. Найдите MH
.
Ответ. \frac{\sqrt{97}}{3}
.
Решение. Введём прямоугольную систему координат Cxyz
с началом в точке C
, направив ось Cx
по лучу CB
, ось Cy
— по лучу CD
, ось Cz
— лучу CC_{1}
. Тогда следующие точки имеют координаты M(1;0;0)
, C(0;4;0)
, C_{1}(0;0;4)
, а уравнение плоскости C_{1}DM
имеет вид (см. задачу 7564)
\frac{x}{1}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1,~\mbox{или}~4x+y+z-4=0.
Значит, расстояние от точки A(4;4;0)
до этой плоскости равно (см. задачу 7563)
AH=\frac{|4\cdot4+4\cdot1+0-4|}{\sqrt{4^{2}+1^{2}+1^{2}}}=\frac{8\sqrt{2}}{3}.
Поскольку AH
— перпендикуляр к плоскости C_{1}DM
, треугольник AHM
прямоугольный с прямым углом при вершине H
катетом AH=\frac{8\sqrt{2}}{3}
и гипотенузой
AM=\sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5.
Следовательно,
MH=\sqrt{AM^{2}-AH^{2}}=\sqrt{5^{2}-\left(\frac{8\sqrt{2}}{3}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{97}}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 2004, задача 5, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004 с. 209, задача 5, вариант 2.1