15056. Основание четырёхугольной пирамиды
SABCD
— параллелограмм
ABCD
. Через середины рёбер
AB
,
AD
и
SC
проведена плоскость. Найдите отношение объёмов частей, на которые эта плоскость делит пирамиду.
Ответ.
1:1
.
Решение. Пусть
K
,
L
и
M
— середины рёбер
AB
,
AD
и
SC
данной пирамиды; прямая
KL
пересекает прямые
BC
и
CD
в точках
P
и
Q
соответственно; прямые
MP
и
SB
, лежащие в плоскости
BSC
, пересекаются в точке
E
; прямые
MQ
и
SD
, лежащие в плоскости
CSD
, пересекаются в точке
F
;
l
— прямая пересечения плоскостей
BSC
и
ASD
;
m
— прямая пересечения плоскостей
ASB
и
CSD
. Прямая
l
параллельна прямым
BC
и
AD
, а прямая
m
— прямым
AB
и
CD
(см. задачу 8004)
Положим
AB=CD=2x
и
BC=AD=2y
. Из равенства треугольников
BKP
и
AKL
получаем, что
BP=AL=y
. Продолжим отрезок
PM
до пересечения с прямой
l
в точке
G
. Пусть
SG=a
. Из равенства треугольников
SMG
и
CMP
получаем, что
SG=CP=3y
, а так как треугольник
BEP
подобен треугольнику
SEG
с коэффициентом
\frac{BP}{CG}=\frac{y}{3y}=\frac{1}{3}
, то
\frac{BE}{ES}=\frac{1}{3}
. Аналогично,
\frac{DF}{FS}=\frac{1}{3}
.
Пусть площадь параллелограмма
ABCD
равна
S
, высота данной пирамиды равна
h
, объём равен
V
, высота треугольной пирамиды
EBKP
, проведённая из вершины
E
, равна
h_{1}
, объём равен
V_{1}
, высота треугольной пирамиды
MCPQ
, проведённой из вершины
M
, равна
h_{2}
, объём равен
V_{2}
. Тогда
S_{\triangle BKP}=S_{\triangle AKL}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABD}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}S=\frac{1}{8}S,

h_{1}=\frac{BE}{SB}\cdot h=\frac{1}{4}h,~h_{2}=\frac{CM}{SC}\cdot h=\frac{1}{2}h,

V_{1}=\frac{1}{3}S_{\triangle BKP}\cdot h_{1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}S\cdot\frac{1}{4}h=\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{32}V,

V_{2}=\frac{1}{3}S_{\triangle MCPQ}\cdot h_{2}=\frac{1}{3}\left(S-\frac{1}{8}S+2\cdot\frac{1}{8}S\right)\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{8}S\cdot\frac{1}{2}h=\frac{9}{16}\cdot\frac{1}{3}Sh=\frac{9}{16}V,

причём пирамиды
EBKP
и
FDLQ
равновелики. Значит, объём части исходной пирамиды, содержащей точку
C
равен
V_{2}-2V_{1}=\frac{9}{16}V-2\cdot\frac{1}{32}V=\frac{1}{2}V,

а объём оставшейся части исходной пирамиды тоже равен
\frac{5}{8}V
. Следовательно, искомое отношение равно
1:1
.
Примечание. Для вычисления отношений можно также применить теорему Менелая (см. задачу 1622).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1977, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977 с. 13, задача 5, вариант 3