15072. В кубе
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием
ABCD
и боковыми рёбрами
AA_{1}
,
BB_{1}
,
CC_{1}
,
DD_{1}
рёбра равны 1. Точки
K
,
L
и
M
лежат на рёбрах
BC
,
AB
и
A_{1}B_{1}
соответственно, причём
BK=\frac{1}{3}
,
AL=\frac{3}{4}
,
A_{1}M=\frac{1}{4}
. Прямая
l
пересекает прямые
CD
,
C_{1}K
,
B_{1}D_{1}
и
LM
в четырёх различных точках
P
,
Q
,
R
и
S
соответственно. Найдите отрезок
PS
.
Ответ.
\frac{\sqrt{429}}{8}
.
Решение. Заметим, что
\frac{MB_{1}}{LB}=\frac{B_{1}C_{1}}{BK}=3:1.

Отсюда следует, что прямые
ML
и
C_{1}K
пересекаются на продолжении ребра
BB_{1}
в некоторой точке
N
, причём
BN=\frac{1}{2}
. Значит, прямая
l
лежит в плоскости
MC_{1}KL
, которая пересекает плоскости оснований
ABCD
и
A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
по параллельными прямым
LK
и
MC_{1}
соответственно (см. задачу 8009). Значит,
P
— точка пересечения прямых
LK
и
DC
, а
R
— точка пересечения прямых
C_{1}M
и
B_{1}D_{1}
. Аналогично,
S
— точка пересечения прямых
NM
и
PR
, лежащих в плоскости
MC_{1}KL
.
Из подобия треугольников
LBK
и
PCK
следует, что
\frac{PC}{LB}=\frac{KC}{BK}=2:1~\mbox{и}~PC=2BL=2\cdot\frac{1}{4}AB=\frac{1}{2}.

Аналогично, используя подобие треугольников
MRB_{1}
и
C_{1}RD_{1}
, находим
\frac{C_{1}D_{1}}{MB_{1}}=\frac{D_{1}R}{RB_{1}}=\frac{C_{1}D_{1}}{B_{1}M}=\frac{4}{3}~\mbox{и}~MR=\frac{3}{7}C_{1}M.

Четырёхугольник
LMC_{1}P
— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. поэтому
C_{1}M=LP
. Из подобных треугольников
SMR
и
SLP
получаем
\frac{SR}{SP}=\frac{MR}{LP}=\frac{3}{7}~\Rightarrow~SP=\frac{7}{4}RP.

Введём прямоугольную систему координат
Bxyz
с началом в точке
B
, направив оси
Bx
,
By
и
Bz
по лучам
BA
,
BP
и
BB_{1}
соответственно. Точки
P
и
R
имеют координаты
P\left(-\frac{1}{2};1;0\right)
и
R\left(\frac{3}{7};\frac{3}{7};1\right)
. Следовательно (см. задачу 7563),
SP=\frac{7}{4}RP=\frac{7}{4}\sqrt{\left(\frac{3}{7}+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{3}{7}-\frac{1}{2}\right)^{2}+1}=\frac{\sqrt{429}}{8}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2004, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2004, с. 108, задача 5, вариант 1.1