15102. В кубе ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
рёбра равны 4. Точка K
лежит на ребре BC
, причём KC=1
. Плоскость \alpha
, проходящая через точки A
и K
, пересекает ребро DD_{1}
. Площадь сечения куба плоскостью \alpha
равна \frac{25}{2}
. Найдите отношение объёмов частей куба, на которые его делит плоскость \alpha
.
Ответ. 21:139
Решение. Пусть M
— точка пересечения прямых AK
и CD
, лежащих в плоскостях ABCD
и \alpha
, L
— точка пересечения прямых MN
и CC_{1}
, лежащих в плоскостях CC_{1}D_{1}D
и \alpha
. Тогда четырёхугольник AKLN
— сечение куба плоскостью \alpha
, причём KL\parallel AN
(см. задачу 8009), поэтому AKLN
— трапеция.
Треугольник AMD
подобен треугольнику KMC
с коэффициентом \frac{AD}{KC}=4
. Значит,
MD=\frac{4}{3}CD=\frac{16}{3},~AM=\sqrt{AD^{2}+MD^{2}}=\sqrt{4^{2}+\left(\frac{16}{3}\right)^{2}}=\frac{20}{3}.
Треугольник AMN
подобен треугольнику KML
с коэффициентом 4, поэтому
S_{\triangle AMN}=4^{2}S_{\triangle KML}=16\cdot\frac{1}{15}S_{AKLN}=\frac{16}{15}S_{AKLN}=\frac{16}{15}\cdot\frac{25}{2}=\frac{40}{3}.
Опустим перпендикуляр DP
на прямую AM
. По теореме о трёх перпендикулярах NP\perp AM
, перпендикулярны, при этом (см. задачу 1967)
DP=\frac{AD\cdot MD}{AM}=\frac{4\cdot\frac{16}{3}}{\frac{20}{3}}=\frac{16}{5},~NP=\frac{2S_{\triangle AMN}}{AM}=4.
ND=\sqrt{NP^{2}-PD^{2}}=\sqrt{4^{2}-\left(\frac{16}{5}\right)^{2}}=\frac{128}{5}.
Значит,
V_{MNAD}=\frac{1}{3}S_{\triangle ADM}\cdot ND=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle AMD}\cdot ND=\frac{1}{6}\cdot AD\cdot MD\cdot ND=
=\frac{1}{6}\cdot4\cdot\frac{16}{3}\cdot\frac{12}{5}=\frac{128}{15},
V_{MLKC}=\left(\frac{1}{4}\right)^{3}\cdot V_{MNAD}=\frac{1}{64}\cdot\frac{128}{15}=\frac{2}{15}.
Пусть V
— объём усечённой пирамиды ANDKCL
с основаниями AND
и KCL
. Тогда
V=V_{MNAD}-V_{MLKC}=\frac{128}{15}-\frac{2}{15}=\frac{126}{15}.
Следовательно, искомое отношение объёмов равно
\frac{V}{4^{3}-V}=\frac{64}{64-\frac{126}{15}}=\frac{21}{139}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2001, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001, с. 93, задача 5, вариант 1.1