15141. В основании правильной пирамиды SABCD
с боковыми рёбрами, равными 5, лежит квадрат со стороной 6. Все грани другой пирамиды TSAB
равны между собой. Найдите расстояние между прямыми TA
и SC
, если известно, что пирамиды расположены по разные стороны от их общей грани.
Ответ. \frac{3\sqrt{7}}{2}
.
Решение. Покажем, что плоскость ATB
параллельна плоскости DSC
. Из условия задачи следует, что AT=BT=5
, TS=6
. Медианы SM
и TM
равнобедренных треугольников ASB
и ATB
перпендикулярны их общему основанию AB
. Следовательно, прямая AB
, а значит, и параллельная ей прямая CD
, перпендикулярны плоскости MSN
(см. задачу 7701), где N
— середина ребра CD
.
Точки S
, T
, M
и N
равноудалены от концов отрезка AB
, поэтому они лежат в плоскости, проходящей через середину M
отрезка AB
перпендикулярно AB
. (см. задачу 8171).
Поскольку противоположные стороны четырёхугольника TMNS
попарно равны, это параллелограмм. Значит, TM\parallel SN
и, так как AB\parallel CD
, то по признаку параллельности плоскостей, (см. задачу 8008) плоскости ATB
и CSD
параллельны. Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми TA
и SC
равно расстоянию между плоскостям ATB
и CSD
, т. е. высоте треугольной призмы DSC
и ATB
с основаниями DSC
и ATB
и боковыми рёбрами DA
, ST
и CB
. Это расстояние равно высоте SH
параллелограмма STMN
, опущенной из точки S
на прямую TM
.
Пусть SO
— высота пирамиды SABCD
, а искомое расстояние равно d
. Тогда
d=SH=\frac{2S\triangle MSN}{ST}=\frac{MN\cdot SO}{TM}=\frac{6\cdot\sqrt{25-18}}{\sqrt{25-9}}=\frac{6\cdot\sqrt{7}}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1996, задача 5, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 69, задача 5, вариант 1.1