15177. В основании правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит квадрат ABCD
со стороной 2. Точки P
и Q
— середины рёбер SB
и SD
соответственно. Найдите объём пирамиды, если известно, что прямые AP
и CQ
перпендикулярны.
Ответ. \frac{4}{3}\sqrt{10}
.
Решение. Первый способ. Достроим треугольник APQ
до параллелограмма AFQP
. Тогда угол между скрещивающимися прямыми AP
и CQ
равен углу CQF
. Значит, \angle CQF=90^{\circ}
, а треугольник CQF
прямоугольный и равнобедренный.
Обозначим FQ=AP=x
. Тогда CF^{2}=2CQ^{2}=2x^{2}
. С другой стороны, поскольку AF\parallel PQ\parallel BD
, а диагонали BD
и AC
квадрата ABCD
перпендикулярны, то \angle CAF=90^{\circ}
. Тогда по теореме Пифагора
CF^{2}=AF^{2}+AC^{2}=\frac{1}{4}BD^{2}+AC^{2}=\frac{1}{4}\cdot(2\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=2+8=10.
из равенства 2x^{2}=10
находим, что AP=CQ=x=\sqrt{5}
.
Пусть боковые рёбра пирамиды равны b
. Отрезок AP
— медиана равнобедренного треугольника ASB
. По формуле для медианы треугольника (см. задачу 4014)
4AP^{2}=2SA^{2}+2AB^{2}-SB^{2},~\mbox{или}~4\cdot5=2b^{2}+2\cdot4-b^{2},
откуда SA=b=2\sqrt{3}
.
Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Тогда SH
— высота пирамиды. Из прямоугольного треугольника SAH
находим, что
SH=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\sqrt{12-(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{10}.
Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot4\cdot\sqrt{10}=\frac{4}{3}\sqrt{10}.
Второй способ. Введём прямоугольную систему координат Oxyz
с началом в точке O
— центре квадрата ABCD
, направив ось Ox
— по лучу OA
, ось Oy
— по лучу OB
, ось Oz
— по лучу OS
. Обозначим высоту SO
призмы через h
и найдём координаты следующих точек и векторов:
A(\sqrt{2};0;0),~C(-\sqrt{2};0;0),~P\left(0;\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{h}{2}\right),~Q\left(0;-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{h}{2}\right),
\overrightarrow{AP}=\left(0-\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2}-0;\frac{h}{2}-0\right)=\left(-\sqrt{2};\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{h}{2}\right),
\overrightarrow{CQ}=\left(0-(-\sqrt{2});-\frac{\sqrt{2}}{2}-0;\frac{h}{2}-0\right)=\left(\sqrt{2};-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{h}{2}\right).
Из условия задачи следует, что скалярное произведение этих векторов равно 0 (см. задачу 4900), т. е.
\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{CQ}=-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{h}{2}\cdot b\frac{h}{2}=-2-\frac{1}{2}+\frac{h^{2}}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{h^{2}}{4}=0,
откуда h=\sqrt{10}
. Следовательно,
V_{ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot4\cdot\sqrt{10}=\frac{4}{3}\sqrt{10}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1991, задача 5, вариант 4
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1991, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991 с. 157, задача 5, вариант 4