15215. Точки M
и N
середины рёбер соответственно AC
и SB
правильного тетраэдра SABC
. Рёбра тетраэдра равны 1. На прямых AS
и CN
выбраны точки P
и Q
, причём прямая PQ
параллельна прямой BM
. Найдите отрезок PQ
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{3}}
.
Решение. Рассмотрим плоскость \alpha
, проведённую через прямые CN
и CP
. Она пересечёт ребро BS
в точке N
(см. рис.). По условию прямая PQ
параллельна BM
, поэтому прямая BM
параллельна плоскости \alpha
(см. задачу 8002).
Рассмотрим плоскость SMB
. Она проходит через прямую BM
, параллельную плоскости \alpha
, поэтому прямая пересечения плоскостей SMB
и \alpha
параллельна прямой BM
(см. задачу 8003).
Пусть K
— точка пересечения прямой SM
и плоскости \alpha
. Поскольку N
— середина стороны SB
треугольника SMB
и NK\parallel BM
, то NK
— средняя линия треугольника SMB
. Значит,
NK=\frac{1}{2}MB=\frac{1}{2}\cdot\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Пусть в плоскости SAC
прямая, проведённая через точку K
параллельно AC
, пересекает ребро AS
в точке T
. Тогда TK
— средняя линия треугольника ASM
, поэтому
TK=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}.
Треугольник PTK
подобен треугольнику PAC
с коэффициентом \frac{TK}{AC}=\frac{1}{4}
, поэтому PK=\frac{1}{4}PC
. Значит, PC=\frac{4}{3}KC
.
Прямые KN
и PQ
параллельны, поэтому треугольники PQC
и KNC
подобны. Тогда
\frac{PQ}{KN}=\frac{PC}{KC}=\frac{4}{3}~\Rightarrow~PQ=\frac{4}{3}KN=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}BM=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1986, задача 4, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986, с. 40, задача 4, вариант 1