15309. В прямую четырёхугольную призму ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
вписана сфера \omega
. Луч с началом в точке A
пересекает \omega
точках P
и Q
, а луч с началом в точке C
пересекает \omega
в точках M
и N
. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Найдите объём призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и расстояние \rho
от центра сферы \omega
до плоскости PAC
, если известно, что AO=1
, BO=2
, CO=4
, AP=\frac{\sqrt{5}}{3}
, AQ=\frac{5\sqrt{5}}{3}
, CM=\frac{10\sqrt{5}}{9}
, CN=2\sqrt{5}
.
Ответ. V=\frac{40\sqrt{5}}{3}
; расстояние от центра сферы \omega
до плоскости PAC
равно нулю.
Решение. Проекция сферы, вписанной в прямую призму, на плоскость её основания — окружность, вписанная в основание, центр которой — точка K
касания сферы и плоскости ABCD
. По теореме о касательной и секущей
AK^{2}=AQ\cdot AP=\frac{5\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{25}{9}~\Rightarrow~\frac{5}{3}.
Аналогично,
CK^{2}=CN\cdot CM=2\sqrt{5}\cdot\frac{\sqrt{10}}{9}=\frac{100}{9}~\Rightarrow~\frac{10}{3}.
Заметим, что
AK+CK=\frac{5}{3}+\frac{10}{3}=\frac{15}{3}=5=AC.
Значит, точка K
лежит на отрезке AC
, а так как точка K
лежит на биссектрисах углов BAD
и BCD
а значит, диагональ ACE
делит пополам углы BAD
и BCD
, т. е. прямая AC
— ось симметрии четырёхугольника ABCD
. Итак, точки B
и D
— симметричны относительно диагонали AC
(четырёхугольник ABCD
— дельтоид), и тогда AC\perp BD
, DO=BO=2
. Таким образом,
AD=AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5},~BC=DC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}.
Пусть r
— радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD
, S
— площадь четырёхугольника, p
— полупериметр. Тогда (см. задачи 523 и 3018)
pr=S=\frac{1}{2}AC\cdot BD~\Rightarrow~r=\frac{\frac{1}{2}\cdot5\cdot4}{\sqrt{5}+2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}.
Заметим, что r
— это также и радиус сферы \omega
, а высота призмы равна 2r
. Пусть V
— объём призмы. Тогда
V=S\cdot2r=AC\cdot BD\cdot r=5\cdot4\cdot\frac{2\sqrt{5}}{3}=\frac{40\sqrt{5}}{3}.
Заметим теперь, что
AQ-AP=\frac{5\sqrt{5}}{3}-\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{4\sqrt{5}}{3}=2r,
поэтому PQ
— диаметр сферы. Значит, центр O'
сферы лежит в плоскости PAC
. Следовательно, расстояние \rho
от точки O'
до плоскости PAC
равно 0.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 11 класс, заключительный этап, задача 7, вариант 11