15309. В прямую четырёхугольную призму
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
вписана сфера
\omega
. Луч с началом в точке
A
пересекает
\omega
точках
P
и
Q
, а луч с началом в точке
C
пересекает
\omega
в точках
M
и
N
. Пусть
O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника
ABCD
. Найдите объём призмы
ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и расстояние
\rho
от центра сферы
\omega
до плоскости
PAC
, если известно, что
AO=1
,
BO=2
,
CO=4
,
AP=\frac{\sqrt{5}}{3}
,
AQ=\frac{5\sqrt{5}}{3}
,
CM=\frac{10\sqrt{5}}{9}
,
CN=2\sqrt{5}
.
Ответ.
V=\frac{40\sqrt{5}}{3}
; расстояние от центра сферы
\omega
до плоскости
PAC
равно нулю.
Решение. Проекция сферы, вписанной в прямую призму, на плоскость её основания — окружность, вписанная в основание, центр которой — точка
K
касания сферы и плоскости
ABCD
. По теореме о касательной и секущей
AK^{2}=AQ\cdot AP=\frac{5\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{25}{9}~\Rightarrow~\frac{5}{3}.

Аналогично,
CK^{2}=CN\cdot CM=2\sqrt{5}\cdot\frac{\sqrt{10}}{9}=\frac{100}{9}~\Rightarrow~\frac{10}{3}.

Заметим, что
AK+CK=\frac{5}{3}+\frac{10}{3}=\frac{15}{3}=5=AC.

Значит, точка
K
лежит на отрезке
AC
, а так как точка
K
лежит на биссектрисах углов
BAD
и
BCD
а значит, диагональ
ACE
делит пополам углы
BAD
и
BCD
, т. е. прямая
AC
— ось симметрии четырёхугольника
ABCD
. Итак, точки
B
и
D
— симметричны относительно диагонали
AC
(четырёхугольник
ABCD
— дельтоид), и тогда
AC\perp BD
,
DO=BO=2
. Таким образом,
AD=AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5},~BC=DC=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}.

Пусть
r
— радиус окружности, вписанной в четырёхугольник
ABCD
,
S
— площадь четырёхугольника,
p
— полупериметр. Тогда (см. задачи 523 и 3018)
pr=S=\frac{1}{2}AC\cdot BD~\Rightarrow~r=\frac{\frac{1}{2}\cdot5\cdot4}{\sqrt{5}+2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}.

Заметим, что
r
— это также и радиус сферы
\omega
, а высота призмы равна
2r
. Пусть
V
— объём призмы. Тогда
V=S\cdot2r=AC\cdot BD\cdot r=5\cdot4\cdot\frac{2\sqrt{5}}{3}=\frac{40\sqrt{5}}{3}.

Заметим теперь, что
AQ-AP=\frac{5\sqrt{5}}{3}-\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{4\sqrt{5}}{3}=2r,

поэтому
PQ
— диаметр сферы. Значит, центр
O'
сферы лежит в плоскости
PAC
. Следовательно, расстояние
\rho
от точки
O'
до плоскости
PAC
равно 0.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2024/2025 11 класс, заключительный этап, задача 7, вариант 11