16008. Последовательные стороны выпуклого четырёхугольника равны a
, b
, c
и d
, а его площадь равна S
. Докажите, что
S\leqslant\frac{1}{4}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}.
Решение. Пусть AC=e
и BD=f
— диагонали четырёхугольника, углы при вершинах A
и C
равны \alpha
и \gamma
соответственно а угол между диагоналями равен \varphi
. Из теоремы Бретшнейдера для четырёхугольника (см. задачу 5434) и формулы площади четырёхугольника через диагонали и углу между ними следует, что
S=\frac{1}{2}ef\sin\varphi\leqslant\frac{1}{2}de\leqslant\frac{1}{2}\sqrt{(ac)^{2}+(bd)^{2}-2abcd\cos(\alpha+\gamma)}\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}\sqrt{(ac)^{2}+(bd)^{2}-2abcd\cos180^{\circ}}=\frac{1}{2}\sqrt{(ac)^{2}+(bd)^{2}+2abcd}=\frac{1}{2}(ac+bd),
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда \alpha+\gamma=180^{\circ}
и \varphi=90^{\circ}
, т. е. тогда и только тогда, когда данный четырёхугольник вписанный, а его диагонали перпендикулярны. Следовательно,
S_{\max}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},
где p
— полупериметр четырёхугольника (см. задачу 369). Таким образом, достаточно доказать, что
(p-a)^{2}(p-b)^{2}(p-c)^{2}(p-d)^{2}\leqslant\left(p-\frac{c+d}{2}\right)^{2}\left(p-\frac{b+c}{2}\right)^{2}\left(p-\frac{c+d}{2}\right)^{2}\left(p-\frac{d+a}{2}\right)^{2}.
Докажем, что
(p-a)(p-b)\leqslant\left(p-\frac{a+b}{2}\right)^{2}.
Действительно,
(p-a)(p-b)\leqslant\left(p-\frac{a+b}{2}\right)^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~p^{2}-p(a+b)+ab\leqslant p^{2}-p(a+b)+\frac{(a+b)^{2}}{4}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~ab\leqslant\frac{(a+b)^{2}}{4}~\Leftrightarrow~\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}.
Последнее неравенство верно (см. задачу 3399).
Аналогично,
(p-b)(p-c)\leqslant\left(p-\frac{b+c}{2}\right)^{2},~(p-c)(p-d)\leqslant\left(p-\frac{c+d}{2}\right)^{2},
(p-d)(p-a)\leqslant\left(p-\frac{d+a}{2}\right)^{2}.
Перемножив эти четыре неравенства, получим
(p-a)^{2}(p-b)^{2}(p-c)^{2}(p-d)^{2}\leqslant\left(p-\frac{c+d}{2}\right)^{2}\left(p-\frac{b+c}{2}\right)^{2}\left(p-\frac{c+d}{2}\right)^{2}\left(p-\frac{d+a}{2}\right)^{2}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b=c=d
, а так как четырёхугольник вписанный и его диагонали перпендикулярны, то это квадрат.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1981, № 9, задача J-37 (1981, с. 144), с. 273