16010. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE
с равными сторонами. Докажите, что если \angle A\geqslant\angle B\geqslant\angle C\geqslant\angle D\geqslant\angle E
, то он правильный.
Решение. Поскольку стороны пятиугольника равны, а
\angle A\geqslant\angle B\geqslant\angle C\geqslant\angle D\geqslant\angle E,
то из равнобедренных треугольников EAB
, ABC
, BCD
, CDE
и DEA
получаем
EB\geqslant AC\geqslant BD\geqslant CE\geqslant DA
(см. задачу 3606).
Обозначим
\angle ACD=\alpha,~\angle ADC=\beta,~\angle ACB=\gamma,~\angle ADE=\delta.
Предположим, что \angle B\gt\angle E
. Тогда (см. задачу 3499)
AC\geqslant DA~\Rightarrow~\alpha\leqslant\beta~\mbox{и}~\angle B\gt\angle E~\Rightarrow~\gamma\lt\delta.
Значит,
\angle C=\alpha+\gamma\lt\beta+\delta=\angle D.
Противоречие. Следовательно, \angle B=\angle E
, а так как
\angle B\geqslant\angle C\geqslant\angle D\geqslant\angle E,
то \angle B=\angle C=\angle D=\angle E
. Аналогично, предположив, что \angle A\gt\angle D
, тоже получим противоречие. Значит, \angle A\gt\angle D
.
Таким образом, все углы пятиугольника равны и все стороны равны. Следовательно, он правильный.