16012. Углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
. Докажите, что
\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\geqslant4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.
Решение. Пусть стороны треугольника, противолежащие углам \alpha
, \beta
и \gamma
, равны a
, b
и c
соответственно, p
— полупериметр треугольника, S
— площадь, R
и r
— радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.
По теореме синусов
\sin\alpha=\frac{a}{2R},~\sin\beta=\frac{b}{2R},~\sin\gamma=\frac{c}{2R}.
Значит (см. задачи 4259 и 452),
\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\geqslant4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\geqslant\frac{4abc}{8R^{3}}\Leftrightarrow~R^{2}(a+b+c)\geqslant abc~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~R^{2}\cdot2p\geqslant S\cdot4R\Leftrightarrow~Rp\geqslant2S~\Leftrightarrow~Rp\geqslant2pr~\Leftrightarrow~R\geqslant2r.
Последнее неравенство верно (см. задачу 3587). Отсюда следует утверждение задачи.