16013. Докажите, что ромбы, вписанные в один и тот же прямоугольник, подобны.
Решение. Пусть ABCD
— ромб, вершины которого — середины сторон данного прямоугольника с центром O
. Тогда O
— центр любого ромба A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, вписанного в этот прямоугольник (см. задачу 1057). Пусть точки A
и A_{1}
лежат на одной стороне прямоугольника, а B
и B_{1}
— на соседней. Тогда прямоугольные треугольники OAA_{1}
и OBB_{1}
подобны, поэтому \frac{OA}{OB}=\frac{OA_{1}}{OB_{1}}
. Значит, треугольники OAB
и OA_{1}B_{1}
тоже подобны. Аналогично, для остальных трёх таких треугольников. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. 1. Пусть отрезки AB
и A_{1}B_{1}
пересекаются в точке E
. Тогда OE\perp A_{1}B_{1}
.
Действительно, из равенств \angle ABO=\angle A_{1}B_{1}O
и \angle OAB=\angle OA_{1}B_{1}
следует, что четырёхугольник OAA_{1}E
вписанный (см. задачу 12), причём OA_{1}
— диаметр его описанной окружности. Следовательно, OE\perp A_{1}B_{1}
.
2. Утверждение также верно для ромбов, вершины которого лежат не только (по одной) на сторонах прямоугольника, но и на прямых содержащих стороны прямоугольника.