16044. Точки D
, E
и F
лежат на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, а лучи AD
, BE
и CF
пересекают описанную окружность треугольника ABC
в точках P
, Q
и R
соответственно. Докажите, что
\frac{AD}{DP}+\frac{BE}{EQ}+\frac{CF}{FR}\geqslant9.
Решение. Пусть биссектриса угла BAC
пересекает сторону BC
в точке N
, а описанную окружность \Gamma
треугольника ABC
— в точке M
. Пусть касательная к \Gamma
пересекает продолжение отрезка AP
в точке S
. Тогда MS\parallel BC
и DS\geqslant DP
. Значит,
\frac{AD}{DP}\geqslant\frac{AD}{DS}=\frac{AN}{NM}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AB}{BN}=\frac{AC}{CN}=\frac{AB+AC}{BN+CN}=\frac{c+b}{a}.
Поскольку
\angle MAC=\angle BAM=\angle NCM,
треугольники ACM
и CNM
с общим углом при вершине M
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AC}{CN}=\frac{AM}{CM}=\frac{CM}{NM}.
Значит,
\frac{AM}{NM}=\frac{AM}{CM}\cdot\frac{CM}{NM}=\frac{AC}{CN}\cdot\frac{AC}{CN}=\left(\frac{AC}{CN}\right)^{2}=\frac{(c+b)^{2}}{a^{2}}.
Тогда
\frac{AN}{NM}=\frac{AM-NM}{NM}=\frac{AM}{NM}-1=\frac{(c+b)^{2}}{a^{2}}-1.
Следовательно,
\frac{AD}{DP}\geqslant\frac{AN}{NM}=\frac{(c+b)^{2}}{a^{2}}-1.
Аналогично,
\frac{BE}{EQ}\geqslant\frac{(c+a)^{2}}{b^{2}}-1,~\frac{CF}{FR}\geqslant\frac{(a+b)^{2}}{c^{2}}-1.
Значит,
\frac{AD}{DP}+\frac{BE}{EQ}+\frac{CF}{FR}\geqslant\frac{(c+b)^{2}}{a^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{b^{2}}+\frac{(a+b)^{2}}{c^{2}}-3=
=\left(\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}}\right)+\left(\frac{c^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}\right)+\left(\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\right)+2\left(\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}+\frac{ab}{c^{2}}\right)-3,
а так как (см. задачу 3399)
\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}}\geqslant2,~\frac{c^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}\geqslant2,~\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{a^{2}}{c^{2}}\geqslant2,
\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}+\frac{ab}{c^{2}}\geqslant3\sqrt[{3}]{{\frac{bc}{a^{2}}\cdot\frac{ca}{b^{2}}\cdot\frac{ab}{c^{2}}}}=3
то
\frac{AD}{DP}+\frac{BE}{EQ}+\frac{CF}{FR}\geqslant2+2+2+6-3=9.
Что и требовалось доказать.
Равенство достигается, когда треугольник ABC
равносторонний, а AD
, BE
и CF
— его биссектрисы.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1990, № 5, задача 1430 (1989, с. 74), с. 158
Источник: Журнал «Mathematics Magazine». — 1992, том 66, № 3, задача 1402, с. 199