16049. Из основания каждой высоты непрямоугольного треугольника ABC
опустили перпендикуляры на его стороны. Полученный шестиугольник вписан в окружность (см. задачу 4782). Докажите, что центр этой окружности совпадает с центром окружности, вписанной в серединный треугольник ортотреугольника треугольника ABC
(т. е. центр окружности, которой принадлежат основания указанных перпендикуляров, совпадает с центром тяжести периметра ортотреугольника треугольника ABC
— точкой Шпикера его ортотреугольника, см. задачу 6792).
Решение. Пусть ABC
— остроугольный треугольник, AD
, BE
и CF
— его высоты, а D_{1}E_{1}F_{1}
— серединный треугольник треугольника DEF
— ортотреугольника треугольника ABC
.
Центр I
окружности, вписанной в треугольник D_{1}E_{1}F_{1}
, — это центр масс периметра (контура) треугольника DEF
, т. е. точка пересечения его биссектрис (см. задачу 6792). Биссектрисы же треугольника D_{1}E_{1}F_{1}
параллельны высотам исходного треугольника ABC
, так как высоты остроугольного треугольника ABC
являются биссектрисами его ортотреугольника DEF
(см. задачу 533), а треугольник D_{1}E_{1}F_{1}
гомотетичен треугольнику DEF
с центром гомотетии в общей точке пересечения медиан треугольников DEF
и D_{1}E_{1}F_{1}
и коэффициентом -\frac{1}{2}
.
Прямая DD_{1}
, содержащая точку I
, — серединный перпендикуляр к стороне шестиугольника, лежащей на прямой BC
, так как эта прямая проходит через середину D_{1}
отрезка EF
, перпендикулярно BC
. Аналогично, остальные серединные перпендикуляры к сторонам этого шестиугольника, тоже проходят через точку I
. Отсюда следует утверждение задачи.
С небольшими изменениями приведённое рассуждение годится и для тупоугольного треугольника.