16050. Треугольник ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
(a\geqslant b\geqslant c
) и биссектрисами AP
, BQ
и CR
подобен треугольнику, составленному из своих высот. Докажите, что CP
, PB
, BR
и RA
образуют геометрическую прогрессию.
Решение. Заметим, что из высот любого треугольника можно составить новый треугольник (см. задачу 2468).
Пусть AD=h_{a}
, BE=h_{b}
и CF=h_{c}
— высоты треугольника ABC
. Тогда
h_{c}\geqslant h_{b}\geqslant h_{c}
(см. задачу 3536). Поскольку ah_{a}=bh_{b}
(удвоенная площадь треугольника ABC
), получаем, что \frac{h_{c}}{h_{b}}=\frac{a}{b}
. Из подобия получаем, что стороны h_{a}
, h_{b}
и h_{a}
второго треугольника соответствуют сторонам a
, b
и c
первого. Тогда
a:b:c=h_{c}:h_{b}:h_{a}.
Таким образом,
\frac{a}{b}=\frac{h_{c}}{h_{b}}=\frac{b}{c}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CP}{PB}=\frac{b}{c}~\mbox{и}~\frac{RB}{RA}=\frac{a}{b},
поэтому
\frac{CP}{PB}=\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{RB}{RA}=k.
для некоторого положительного k
. Тогда
CP=kPB,~RA=\frac{1}{k}\cdot RB,
откуда
a=CP+PB=PB(k+1),~c=RB+RA=RB\left(1+\frac{1}{k}\right).
Значит,
\frac{a}{c}=\frac{PB(k+1)}{RB\left(1+\frac{1}{k}\right)}=k\cdot\frac{PB}{RB},
откуда
\frac{PB}{RB}=\frac{a}{ck}=\frac{a}{c\cdot\frac{a}{b}}=\frac{b}{c}=k=\frac{CP}{PB}=\frac{RB}{RA}.
Следовательно,
\frac{CP}{PB}=\frac{PB}{RB}=\frac{RB}{RA},
т. е. CP
, PB
, BR
и RA
образуют геометрическую прогрессию. Что и требовалось доказать.