16061. Докажите, что для вписанного четырёхугольника ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
, DA=d
и площадью S
, выполняется равенство
S=\frac{1}{4R}\sqrt{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}.
(Формула Парамешвары.)
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
равны e
и f
соответственно, а радиус его описанной окружности равен R
. Тогда (см. задачу 4259)
S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABC}=\frac{abe}{4R}+\frac{cde}{4R}=\frac{e(ab+cd)}{4R},
S=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CBD}=\frac{adf}{4R}+\frac{bcf}{4R}=\frac{f(ad+bc)}{4R}.
Разделив первое из этих равенств на второе, получим
1=\frac{e}{f}\cdot\frac{ab+cd}{ad+bc}~\Rightarrow~\frac{e}{f}=\frac{ad+bc}{ab+cd}.
По теореме Птолемея (см. задачу 130)
ef=ac+bd,
поэтому
e^{2}=ef\cdot\frac{e}{f}=(ac+bd)\cdot\frac{ad+bc}{ab+cd},~f^{2}=ef\cdot\frac{f}{e}=(ac+bd)\cdot\frac{ab+cd}{ad+bc}.
Значит,
S^{2}=\frac{e(ab+cd)}{4R}\cdot\frac{f(ad+bc)}{4R}=\frac{ef(ab+cd)(ad+bc)}{16R^{2}}=\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16R^{2}}.
Следовательно,
S=\frac{1}{4R}\sqrt{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}.
Что и требовалось доказать.