16062. Около четырёхугольника ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
и DA=d
можно описать окружность и в него можно вписать окружность радиуса R
. Докажите, что
R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{abcd}}.
Решение. Пусть S
— площадь данного четырёхугольника. Тогда (см. задачи 2859 и 16061)
S=\sqrt{abcd}~\mbox{и}~S=\frac{1}{4R}\sqrt{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}.
Значит,
R^{2}=\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16S^{2}}=\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{16abcd}.
Следовательно,
R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)(ad+bc)}{abcd}}.
Что и требовалось доказать.