16090. Диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Невыпуклый пятиугольник ABOCD
равновелик треугольнику BOC
. Точки P
и Q
лежат на стороне BC
, причём OP\parallel AB
и OQ\parallel DC
. Докажите, что сумма площадей треугольников AOB
и COD
равна удвоенной площади треугольника POQ
.
Решение. Обозначим, \frac{OC}{OA}=u
и \frac{OB}{OD}=v
. Тогда (см. задачи 3000 и 3007)
S_{\triangle COD}=uS_{\triangle AOD},~S_{\triangle AOB}=vS_{\triangle AOD},~S_{\triangle BOC}=uvS_{\triangle AOD},
а так как по условию
S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOD}+S_{\triangle COD}=S_{\triangle BOC},~\mbox{или}~vS_{\triangle AOD}+S_{\triangle AOD}+uS_{\triangle AOD}=uvS_{\triangle AOD},
то
v+1+u=uv~\Rightarrow~uv=u+v+1.
Пусть BP=x
, PQ=y
и QC=z
. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{OC}{OA}=u=\frac{CP}{PB}=\frac{z+y}{x},~\frac{OB}{OD}=v=\frac{BQ}{QC}=\frac{x+y}{z},
откуда, положив y=1
, находим, что
vz=x+y~\Rightarrow~x=vz-y=vz-1=v(ux-1)-1~\Rightarrow~x=\frac{v+1}{uv-1}.
Аналогично,
z=\frac{u+1}{uv-1}.
Значит,
x+y+z=x+1+z=\frac{v+1}{uv-1}+1+\frac{u+1}{uv-1}=\frac{u+v+uv+1}{uv-1}=
=\frac{(u+v+1)+uv}{(u+v+1)-1}=\frac{uv+uv}{u+v}=\frac{2uv}{u+v}.
При этом
S_{\triangle BOP}:S_{\triangle POQ}:S_{\triangle COQ}=x:y:z=x:1:z.
Следовательно,
S_{\triangle POQ}=\frac{y}{x+y+z}S_{\triangle BOC}=\frac{1}{x+z+1}S_{\triangle BOC}=\frac{1}{\frac{2uv}{u+v}}\cdot uvS_{\triangle AOD}=
=\frac{u+v}{2}S_{\triangle AOD}=\frac{uS_{\triangle AOD}+vS_{\triangle AOD}}{2}=\frac{S_{\triangle AOB}+S_{\triangle COD}}{2},
или
S_{\triangle AOB}+S_{\triangle COD}=2S_{\triangle POQ}.
Что и требовалось доказать.